Какой закон распределения характеризует дискретную случайную величину Х, которая представляет собой число изделий

Лия

40

Для решения этой задачи нам понадобятся основные понятия и формулы теории вероятностей.

1. Закон распределения: Для описания дискретной случайной величины X, которая представляет собой число изделий первого сорта, выбранных наугад из четырех, используется биномиальное распределение.

2. Функция распределения: Функция распределения F(X) дискретной случайной величины X задается формулой:
\[F(X) = P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i}p^i(1-p)^{n-i}\]
где n - число испытаний, k - число достижений, p - вероятность достижения (вероятность изделия первого сорта), \(\binom{n}{i}\) - число сочетаний из n по i.

3. Математическое ожидание: Математическое ожидание M(X) случайной величины X вычисляется по формуле:
\[M(X) = n \cdot p\]

4. Дисперсия и среднее квадратичное отклонение: Дисперсия D(X) и среднее квадратичное отклонение \(\sigma(X)\) случайной величины X вычисляются по формулам:
\[D(X) = n \cdot p \cdot (1-p)\]
\[\sigma(X) = \sqrt{D(X)}\]

5. Построение графика: Для построения графика распределения можно использовать диаграмму, где по горизонтальной оси откладывается значение изделий первого сорта X, а по вертикальной оси - вероятность P(X). Каждое значение X соответствует вероятности достичь данной величины по формуле из пункта 2.

Теперь решим данную задачу пошагово:

1. Закон распределения: В нашем случае будет использоваться биномиальное распределение.

2. Функция распределения: Для этого найдем значения функции распределения F(X) для каждого значения X от 0 до 4.
\[F(X=0) = P(X \leq 0) = \binom{4}{0}p^0(1-p)^{4-0}\]
\[F(X=1) = P(X \leq 1) = \binom{4}{0}p^0(1-p)^4 + \binom{4}{1}p^1(1-p)^{4-1}\]
\[F(X=2) = P(X \leq 2) = \binom{4}{0}p^0(1-p)^4 + \binom{4}{1}p^1(1-p)^{4-1} + \binom{4}{2}p^2(1-p)^{4-2}\]
\[F(X=3) = P(X \leq 3) = \binom{4}{0}p^0(1-p)^4 + \binom{4}{1}p^1(1-p)^{4-1} + \binom{4}{2}p^2(1-p)^{4-2} + \binom{4}{3}p^3(1-p)^{4-3}\]
\[F(X=4) = P(X \leq 4) = \binom{4}{0}p^0(1-p)^4 + \binom{4}{1}p^1(1-p)^{4-1} + \binom{4}{2}p^2(1-p)^{4-2} + \binom{4}{3}p^3(1-p)^{4-3} + \binom{4}{4}p^4(1-p)^{4-4}\]

3. Математическое ожидание: M(X) = n \cdot p = 4 \cdot p

4. Дисперсия и среднее квадратичное отклонение:
\[D(X) = n \cdot p \cdot (1-p)\]
\[\sigma(X) = \sqrt{D(X)}\]

5. Построение графика: Нанесем на график значения X по оси абсцисс и соответствующие значения вероятности P(X) по оси ординат.

Это полное решение задачи. Если у тебя есть какие-либо вопросы или нужна дополнительная помощь, пожалуйста, дай мне знать!