Какой знаменатель будет у геометрической прогрессии, у которой сумма всех её членов равна 4, а сумма квадратов всех

Сердце_Сквозь_Время_7197

31

Для решения данной задачи нам необходимо использовать формулы для суммы членов геометрической прогрессии и суммы квадратов её членов.

Для удобства обозначим знаменатель геометрической прогрессии через q. Тогда первый член этой прогрессии будет равен 1/q, второй член - 1/q^2, третий - 1/q^3 и так далее.

Формула для суммы всех членов геометрической прогрессии выглядит следующим образом:

\[S = \frac{a}{1-q},\]

где S - сумма всех членов прогрессии, a - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии.

Нам дано, что сумма всех членов прогрессии равна 4. Подставим эти данные в формулу и решим уравнение:

\[4 = \frac{1/q}{1-q}.\]

Преобразуем уравнение:

\[4 = \frac{1}{q(1-q)}.\]

Умножим обе части уравнения на \(q(1-q)\):

\[4q(1-q) = 1.\]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[4q - 4q^2 = 1.\]

Теперь приведем уравнение к квадратному виду:

\[4q^2 - 4q + 1 = 0.\]

Это квадратное уравнение имеет два корня. Решим его с помощью дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 - 16 = 0.\]

Дискриминант равен 0, что означает, что у уравнения только один корень. Формула для нахождения корня квадратного уравнения записывается следующим образом:

\[q = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-4)}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}.\]

Таким образом, знаменатель геометрической прогрессии, при котором сумма всех её членов равна 4, а сумма квадратов всех её членов равна, равен \(\frac{1}{2}\).