Какую цену должен установить монополист, чтобы достичь максимальной выручки, если функция спроса на его продукцию

Сквозь_Пыль_5762

50

Одним из основных задач монополиста является максимизация выручки. Чтобы найти цену, при которой монополист достигнет этой цели, нам необходимо найти точку, в которой изменение выручки будет равно нулю. Это можно сделать, продифференцировав функцию выручки и приравняв её к нулю.

Функция спроса дана уравнением \(q_d = 24 - 2p\), где \(q_d\) - количество продукции, которую потребители готовы купить по цене \(p\). Чтобы найти функцию выручки, нужно умножить цену на количество проданных товаров: \(R = p \cdot q_d\).

Дифференцируем функцию выручки по цене:
\[
\frac{{dR}}{{dp}} = \frac{{d}}{{dp}}(p \cdot q_d) = q_d + p \cdot \left(\frac{{dq_d}}{{dp}}\right)
\]

Теперь найдём значение цены \(p\), при котором \(\frac{{dR}}{{dp}} = 0\). Решим уравнение:
\[
0 = q_d + p \cdot \left(\frac{{dq_d}}{{dp}}\right)
\]

У нас есть функция спроса \(q_d = 24 - 2p\). Найдём производную:
\[
\frac{{dq_d}}{{dp}} = -2
\]

Подставим значение в уравнение:
\[
0 = 24 - 2p + p \cdot (-2)
\]

Раскроем скобки:
\[
0 = 24 - 2p - 2p
\]

Сгруппируем члены:
\[
0 = 24 - 4p
\]

Выразим \(p\):
\[
4p = 24
\]

\[
p = \frac{{24}}{{4}}
\]

Сократим:
\[
p = 6
\]

Таким образом, чтобы достичь максимальной выручки, монополист должен установить цену в 6 денежных единиц.