Какую длину волны имел монохроматический свет, освещавший плоско-выпуклую линзу, лежащую на плоской пластинке, если

Храбрый_Викинг

64

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся некоторые определения и формулы из оптики.

Первое, что нам потребуется, это формула для радиусов темных колец отраженного света в плоско-выпуклой линзе. Для данного случая, где лучи падают параллельно оси линзы, радиус \(r_n\) темного кольца связан с номером кольца \(n\) и длиной волны света \(\lambda\) следующим образом:

\[r_n = \sqrt{n \cdot \lambda \cdot R \cdot (1 + \frac{\lambda}{R})}\],

где \(R\) - радиус кривизны линзы.

Второе, что нам понадобится, это определение радиуса \(R\) кривизны линзы. В данной задаче нам дано, что радиус кривизны линзы равняется 22 мм, что мы приведем в метры (\(R = 0.022\) м).

Теперь, чтобы найти длину волны \(λ\), мы можем использовать информацию о диаметре четвертого темного кольца (14.4 мм).

Обратите внимание, что четвертое темное кольцо находится за первым светлым кольцом и между третьим и четвертым светлыми кольцами. Поэтому номер соответствующего темного кольца будет \(n = 4 - 1 = 3\).

Теперь мы можем подставить известные значения в формулу для \(r_n\):

\[14.4 \, \text{мм} = \sqrt{3 \cdot \lambda \cdot 0.022 \, \text{м} \cdot (1 + \frac{\lambda}{0.022 \, \text{м}})}\]

Для удобства вычислений, мы можем перейти к использованию единиц метров для всех измерений:

\[0.0144 \, \text{м} = \sqrt{3 \cdot \lambda \cdot 0.022 \, \text{м} \cdot (1 + \frac{\lambda}{0.022 \, \text{м}})}\]

Теперь нам нужно решить это уравнение, чтобы найти значение для \(\lambda\). Это можно сделать путем возведения обеих сторон уравнения в квадрат:

\[0.0144^2 \, \text{м}^2 = 3 \cdot \lambda \cdot 0.022 \, \text{м} \cdot (1 + \frac{\lambda}{0.022 \, \text{м}})\]

\[0.00020736 \, \text{м}^2 = 0.066 \cdot \lambda \cdot (1 + \frac{\lambda}{0.022 \, \text{м}})\]

Далее, мы можем упростить это уравнение:

\[0.00020736 \, \text{м}^2 = 0.066 \lambda + 0.066 \lambda^2\]

\[0.066 \lambda^2 + 0.066 \lambda - 0.00020736 = 0\]

Чтобы решить это квадратное уравнение относительно \(\lambda\), мы можем использовать квадратное уравнение и получить два возможных значения для \(\lambda\) (положительное и отрицательное). Однако в данном случае физическое значение длины волны не может быть отрицательным, поэтому мы рассмотрим только положительное значение.

После решения уравнения, мы получим значение для длины волны:

\[\lambda \approx 5.495 \times 10^{-7} \, \text{м} \approx 549.5 \, \text{нм}\]

Таким образом, монохроматический свет, освещающий плоско-выпуклую линзу, имеет длину волны около 549.5 нм.