Какова скорость лыжника в конце спуска с горы длиной 800 м и углом наклона к горизонту 30°, если на половине пути

Сверкающий_Джинн

65

Для решения этой задачи нам понадобится применить законы сохранения энергии и закон движения.

У нас есть начальная потенциальная энергия лыжника в начале спуска и начальная кинетическая энергия ракеты. В конце спуска, когда ракета достигает максимальной высоты, вся потенциальная энергия лыжника превращается в кинетическую энергию ракеты и лыжника.

Для начала, найдем потенциальную энергию лыжника в начале спуска и в конце спуска:

Потенциальная энергия в начале спуска:
\[E_{пн} = mgh\]
где:
\(m\) - масса лыжника,
\(g\) - ускорение свободного падения (приближенно равно 9.8 м/с²),
\(h\) - высота горы.

Мы знаем, что масса ракеты составляет 100 г. Теперь найдем потенциальную энергию лыжника в конце спуска, когда ракета достигает максимальной высоты:

Потенциальная энергия в конце спуска:
\[E_{пк} = m_{лыжника} \cdot g \cdot H_{горы}\]
где:
\(m_{лыжника}\) - масса лыжника,
\(H_{горы}\) - высота горы (расстояние, на которое поднялась ракета).

Теперь найдем кинетическую энергию ракеты в конце спуска, когда она достигает максимальной высоты:

Кинетическая энергия ракеты в конце спуска:
\[E_{кин} = \frac{1}{2} m_{ракеты} v_{верт}^2\]
где:
\(m_{ракеты}\) - масса ракеты,
\(v_{верт}\) - скорость ракеты при достижении максимальной высоты.

Так как потенциальная энергия в начале спуска превращается в кинетическую энергию в конце спуска, то мы можем записать:

\[E_{пн} = E_{пк} + E_{кин}\]

\[(m_{лыжника} \cdot g \cdot h) = (m_{лыжника} \cdot g \cdot H_{горы}) + (\frac{1}{2} \cdot m_{ракеты} \cdot v_{верт}^2)\]

Так как начальная скорость лыжника равна нулю, то к отношению начальной скорости ракеты отличается от конечной скорости ракеты на вершине траектории. Обозначим скорость ракеты на вершине траектории как \(v_{раз}\). Тогда с учетом этого, можно записать:

\[(0) = (0) + (\frac{1}{2} \cdot m_{ракеты} \cdot v_{раз}^2)\]

Отсюда найдем скорость ракеты на вершине траектории:

\[v_{раз} = \sqrt{\frac{2 \cdot 0}{m_{ракеты}}}\]

Теперь у нас есть система уравнений, включающая все известные величины, которые позволяют нам выразить \(H_{горы}\):

\[\begin{cases}
(m_{лыжника} \cdot g \cdot h) = (m_{лыжника} \cdot g \cdot H_{горы}) + (\frac{1}{2} \cdot m_{ракеты} \cdot v_{раз}^2)\\
v_{раз} = \sqrt{\frac{2 \cdot 0}{m_{ракеты}}}
\end{cases}\]

Теперь остается только подставить известные значения и решить систему уравнений. В данной задаче, \(m_{лыжника}\) явно не указывается, следовательно решим задачу аналитически, выразив \(H_{горы}\) через известные значения.