Какую функцию нужно найти, обратную функции y=7x2+6 на интервале x∈(−∞;0)?

Vesenniy_Les

66

Чтобы найти обратную функцию для функции \(y = 7x^2 + 6\) на интервале \(x \in (-\infty;0)\), мы должны сначала найти обратимый интервал этой функции.

Шаг 1: Найти область значений функции

Обратная функция будет существовать только если исходная функция является взаимно-однозначной. Чтобы проверить это, найдем область значений функции \(y = 7x^2 + 6\).

Для этого, давайте рассмотрим случай, когда \(x\) стремится к бесконечности. Если \(x\) становится очень большим, то значение \(7x^2\) станет очень большим, потому что \(x^2\) растет быстрее, чем само \(x\). Таким образом, функция \(7x^2 + 6\) будет стремиться к бесконечности при очень больших положительных значениях \(x\).

Следовательно, область значений функции \(y = 7x^2 + 6\) равна \((6, +\infty)\).

Шаг 2: Найти область определения обратной функции

Теперь, чтобы определить интервал, на котором обратная функция будет существовать, мы должны проверить, входят ли значения функции в область значений \((6, +\infty)\).

Обратная функция будет существовать только на интервале, где функция \(y = 7x^2 + 6\) соответствует требованиям обратимости. Из области значений \(y = 7x^2 + 6\) следует, что функция \(y = 7x^2 + 6\) является монотонно возрастающей на интервале \(x \in (-\infty;0)\).

Шаг 3: Найти обратную функцию

Чтобы найти обратную функцию, мы меняем местами \(x\) и \(y\) в исходной функции и решаем уравнение относительно \(x\).

Итак, у нас есть:
\(y = 7x^2 + 6\).

Меняем местами \(x\) и \(y\):
\(x = 7y^2 + 6\).

Решаем уравнение относительно \(y\):
\(7y^2 = x - 6\).

Делим обе части на 7:
\(y^2 = \frac{{x - 6}}{7}\).

Извлекаем квадратный корень:
\(y = \sqrt{\frac{{x - 6}}{7}}\).

Таким образом, обратная функция для функции \(y = 7x^2 + 6\) на интервале \(x \in (-\infty;0)\) будет равна:
\(y = \sqrt{\frac{{x - 6}}{7}}\).

Обратите внимание, что мы взяли положительный квадратный корень, поскольку функция \(y = 7x^2 + 6\) является монотонно возрастающей на интервале \(x \in (-\infty;0)\).