Какую наибольшую точность (δλ) можно добиться при измерении длины волны излучения, если атом испустил фотон с длиной

Баронесса

54

Для решения этой задачи, мы можем использовать соотношение неопределенности Гейзенберга, которое связывает неопределенность измерения энергии и времени:

\[\Delta E \cdot \Delta t \geq \frac{\hbar}{2}\]

где \(\Delta E\) - неопределенность измерения энергии, \(\Delta t\) - неопределенность измерения времени, \(\hbar\) - приведенная постоянная Планка.

Мы знаем, что энергия фотона связана с его длиной волны формулой:

\[E = \frac{hc}{\lambda}\]

где \(h\) - постоянная Планка, \(c\) - скорость света, \(\lambda\) - длина волны излучения.

Исходя из этих формул, мы можем записать:

\[\Delta E \cdot \Delta t \geq \frac{\hbar}{2} = \frac{hc}{2\lambda}\Delta t\]

Мы хотим найти неопределенность в измерении длины волны \(\Delta \lambda\), поэтому давайте выразим \(\Delta t\) через \(\Delta \lambda\) используя формулу скорости света:

\[\Delta \lambda = \frac{c \cdot \Delta t}{\lambda}\]

Теперь, подставим это в неравенство:

\[\frac{hc}{2\lambda}\Delta t \geq \frac{\hbar}{2}\]

\[\frac{hc}{2\lambda} \cdot \frac{c \cdot \Delta t}{\lambda} \geq \frac{\hbar}{2}\]

\[\frac{c^2 \cdot \Delta t}{2\lambda^2} \geq \frac{\hbar}{2}\]

А теперь, решим это уравнение относительно \(\Delta \lambda\):

\[\Delta \lambda \geq \frac{\lambda^2 \cdot \hbar}{c^2 \cdot \Delta t}\]

Теперь, подставим известные значения и найдем значения точности:

\[\Delta \lambda \geq \frac{(800 \times 10^{-9})^2 \cdot (6.626 \times 10^{-34})}{(3 \times 10^8)^2 \cdot \Delta t}\]

\[\Delta \lambda \geq \frac{6.4 \times 10^{-7} \cdot 4.377 \times 10^{-34}}{9 \times 10^{16} \cdot \Delta t}\]

\[\Delta \lambda \geq \frac{2.805 \times 10^{-40}}{\Delta t}\]

Таким образом, наибольшую точность \(\Delta \lambda\) можно достичь, когда \(\Delta t\) стремится к бесконечности. В этом случае, точность измерения длины волны будет неопределенность Гейзенберга, и составляет:

\[\Delta \lambda \geq 2.805 \times 10^{-40} м\]

Обратите внимание, что это очень маленькое значение, и на практике мы никогда не можем достичь такой высокой точности измерения длины волны излучения.

Надеюсь, этот ответ был подробным и понятным. Если у вас возникли еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!