Какую площадь и периметр имеет равнобедренный треугольник АВС, если боковая сторона равна √3, а угол при основании

Iskander

14

Дано, что боковая сторона равнобедренного треугольника \(AB = \sqrt{3}\), а угол при основании \(AC\) составляет 30 градусов. Нашей целью является нахождение площади и периметра данного треугольника.

Для начала, давайте найдем основание треугольника. Так как это равнобедренный треугольник, то \(AC = BC\). Обозначим сторону основания треугольника как \(BC\).

Учитывая, что угол при основании равен 30 градусам, мы можем разбить данный равнобедренный треугольник на два прямоугольных треугольника \(ABC\) и \(ACD\). Так как угол \(ACD\) равен 90 градусам, мы можем использовать тригонометрические отношения для нахождения значения основания треугольника \(BC\).

Так как \(\angle ACD = 90^\circ\), мы знаем, что \(\sin(\angle ACD) = \frac{BC}{AC}\). Подставляя известные значения, получаем:

\(\sin(90^\circ) = \frac{BC}{\sqrt{3}}\)

Так как \(\sin(90^\circ) = 1\), мы получаем:

\(1 = \frac{BC}{\sqrt{3}}\)

Умножим обе стороны уравнения на \(\sqrt{3}\), чтобы избавиться от знаменателя и найти значение \(BC\):

\(BC = \sqrt{3}\)

Теперь, зная значение основания \(BC\) и боковой стороны \(AB\), мы можем найти периметр треугольника.

Периметр равнобедренного треугольника вычисляется как сумма длин всех его сторон. В данном случае, у нас есть две боковые стороны, равные \(\sqrt{3}\), и одно основание \(BC\) равное \(\sqrt{3}\).

Таким образом, периметр треугольника \(ABC\) равен:

\(\text{Периметр} = AB + BC + AC = \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} = 3\sqrt{3}\)

Теперь перейдем к вычислению площади данного треугольника. Площадь равнобедренного треугольника можно найти, зная его высоту и основание.

Высота треугольника - это отрезок, проведенный из вершины треугольника к основанию, перпендикулярный этому основанию. Мы можем найти высоту, используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике \(ACD\).

Так как угол \(ACD\) равен 90 градусам, то мы можем применить теорему Пифагора, чтобы найти высоту \(h\):

\(h^2 = AC^2 - BC^2\)
\(h^2 = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^2\)
\(h^2 = 3 - 3\)
\(h^2 = 0\)

Из этого мы видим, что высота \(h\) равна 0. Это говорит нам о том, что прямоугольный треугольник \(ACD\) является вырожденным, и высота необразована.

Так как высота треугольника равна 0, площадь треугольника \(ABC\) также равна 0.

Итак, ответ на вашу задачу состоит в следующем:

Площадь равнобедренного треугольника \(ABC\) равна 0, а периметр равен \(3\sqrt{3}\).