Необходимо доказать, что параллелограмм ABCD является прямоугольником, если диагонали пересекаются в точке O и медиана

Aleksandra_612

38

AB.

Доказательство:

1. Пусть О - точка пересечения диагоналей AC и BD параллелограмма ABCD.

2. На рисунке ниже показаны параллелограмм ABCD, его диагонали AC и BD, точка пересечения O и медиана ОМ треугольника ВОС.

\[ \]

3. Медиана ОМ треугольника ВОС делит сторону AB пополам.

4. Так как ОМ перпендикулярна AB, то она также является биссектрисой треугольника ВОС, разделяя его на два равных треугольника.

5. Рассмотрим треугольники ОМВ и ОМС. Они равны по двум сторонам (ОМ общая, сторона VM равна стороне CM, поскольку ВО = СO), и по двум углам (угол ВМО равен углу ОСМ, поскольку они являются вертикальными и наклонными углами, а угол ОМВ равен углу ОМС, так как ОМ является биссектрисой угла ВОС).

6. Из равенства треугольников ОМВ и ОМС следует, что их третьи стороны равны. Следовательно, ВМ = СМ.

7. Так как медиана ОМ делит сторону AB пополам, а ВМ = СМ, то AB равно ВС.

8. Поскольку сторона ВС равна стороне АВ, то параллелограмм ABCD является прямоугольником.

Таким образом, мы доказали, что параллелограмм ABCD является прямоугольником, если диагонали пересекаются в точке О и медиана ОМ треугольника ВОС перпендикулярна стороне AB.

Если у вас есть остальные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.