Какую площадь имеет равнобедренный треугольник KPM, если один из его углов составляет 120°, а длина отрезка KP равна

Артём

14

Чтобы найти площадь равнобедренного треугольника KPM, мы можем использовать следующий метод:

1. Найдем высоту треугольника, проходящую через его вершину K и опускающуюся на сторону PM. Так как треугольник KPM — равнобедренный, то высота будет одновременно являться медианой и биссектрисой.

2. Разобьем треугольник на два прямоугольных треугольника KPH и KPM, где H — середина стороны PM.

3. Найдем длину стороны PH, используя теорему Пифагора. Так как треугольник KPH — прямоугольный, то справедливо равенство \(KP^2 = PH^2 + KH^2\). Подставим известные значения и найдем длину стороны PH.

\[
24^2 = PH^2 + (\frac{24}{2})^2
\]
\[
576 = PH^2 + 288
\]
\[
PH^2 = 576 - 288
\]
\[
PH^2 = 288
\]
\[
PH = \sqrt{288}
\]

4. Так как треугольник KPH — прямоугольный, то высота треугольника KPM, проходящая через вершину K и опускающаяся на сторону PM, будет равна длине стороны PH. Поэтому высота треугольника KPM равна \(\sqrt{288}\).

5. Найдем площадь треугольника KPM, используя формулу для площади произвольного треугольника: \(S = \frac{1}{2} \times KP \times h\), где KP — длина основания треугольника, а h — высота.

\[
S = \frac{1}{2} \times 24 \times \sqrt{288}
\]
\[
S = 12 \times \sqrt{288}
\]

То есть, площадь равнобедренного треугольника KPM равна \(12 \times \sqrt{288}\). Мы можем упростить этот ответ, используя десятичное приближение для \(\sqrt{288}\) или оставить его в виде выражения через корень, в зависимости от требований задачи.