Какую работу совершает результирующий момент внешних сил над телом за промежуток времени от t1 до t2, когда тело массой

Тропик

11

Для решения данной задачи, мы должны вычислить работу, совершаемую результирующим моментом сил внешних сил над телом за промежуток времени от \(t_1\) до \(t_2\).

Сначала давайте вычислим угловую скорость \(\omega_1\) тела в момент времени \(t_1\). Угловая скорость определяется как производная углового смещения по времени:
\[\omega_1 = \frac{{d\phi}}{{dt}}\]

Так как закон изменения углового смещения задан как \(\phi = \alpha t^4 + \beta t + \gamma\), тогда угловая скорость будет равна:
\[\omega_1 = \frac{{d}}{{dt}}(\alpha t^4 + \beta t + \gamma)\]

Производные по времени для каждого члена в этом уравнении будут равны:
\[\frac{{d\alpha t^4}}{{dt}} = 4\alpha t^3\]
\[\frac{{d\beta t}}{{dt}} = \beta\]
\[\frac{{d\gamma}}{{dt}} = 0\]

Получаем:
\[\omega_1 = 4\alpha t^3 + \beta\]

Теперь посчитаем угловую скорость \(\omega_2\) тела в момент времени \(t_2\):
\[\omega_2 = 4\alpha t^3 + \beta\]

В данной задаче величины \(\alpha = 5\), \(\beta = -1\) и \(\gamma = 3\), поэтому:
\[\omega_1 = 4 \cdot 5 \cdot (0.8)^3 - 1 = 2.56\,\text{рад/с}\]
\[\omega_2 = 4 \cdot 5 \cdot (0.9)^3 - 1 = 3.74\,\text{рад/с}\]

Теперь мы можем вычислить момент инерции \(I\) цилиндра, используя формулу \(I = \frac{1}{2}m r^2\), где \(m\) - масса тела, а \(r\) - радиус (или длина) тела.
\[I = \frac{1}{2} \cdot 500 \cdot 5^2 = 6250\,\text{кг*м}^2\]

Таким образом, чтобы найти работу \(W\), мы используем формулу работы для вращения:
\[W = \frac{1}{2}I(\omega_2^2 - \omega_1^2)\]
\[W = \frac{1}{2} \cdot 6250 \cdot (3.74^2 - 2.56^2) = 6815.05\,\text{Дж}\]

Итак, результирующий момент сил внешних сил совершает работу равную 6815.05 Дж в течение промежутка времени от 0.8 секунды до 0.9 секунды.