Какую скорость должен иметь человек, двигаясь вдоль края платформы, чтобы компенсировать ее скорость вращения

Busya

30

Для того чтобы решить эту задачу, нам потребуется использовать законы сохранения импульса и момента импульса.

Предположим, что платформа вращается с некоторой угловой скоростью \(\omega\) и имеет массу \(m_1\), а человек движется с постоянной линейной скоростью \(v\) вдоль края платформы. При этом, чтобы оставаться неподвижным относительно земли, скорость человека должна быть равной скорости, с которой платформа вращается, но противоположно направлена.

Составим уравнение сохранения импульса для системы, состоящей из платформы и человека:

\[m_1 \cdot v - m_2 \cdot (-v) = 0\],

где \(m_1\) и \(m_2\) - массы платформы и человека соответственно, а знак минус перед \(v\) означает, что скорость человека противоположна скорости платформы.

Теперь воспользуемся законом сохранения момента импульса. Так как вращение платформы происходит вокруг ее центра масс и при этом сила трения платформы и земли равна нулю, то момент импульса системы должен сохраняться.

Момент импульса платформы с массой \(m_1\) равен \(I_1 \cdot \omega\), где \(I_1\) - момент инерции платформы.

Момент импульса человека с массой \(m_2\) равен \(m_2 \cdot r \cdot (-v)\), где \(r\) - радиус платформы.

Поэтому уравнение сохранения момента импульса можно записать как:

\[I_1 \cdot \omega + m_2 \cdot r \cdot (-v) = 0\].

Если мы знаем массу платформы и человека, радиус платформы, и хотим найти скорость человека, то нам также понадобится значение момента инерции платформы.

Для цилиндрического тела момент инерции по оси, проходящей через центр масс и параллельной его оси вращения, равнен \(I = \frac{1}{2} m r^2\), где \(m\) - масса цилиндра, \(r\) - радиус цилиндра.

В данном случае у нас есть информация о массе платформы и ее радиусе, поэтому можем подставить значения в формулу момента инерции и переписать уравнение сохранения момента импульса в виде:

\[\frac{1}{2} m_1 r^2 \cdot \omega + m_2 \cdot r \cdot (-v) = 0\].

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \(v\), чтобы найти искомую скорость.

\[v = \frac{1}{2} \cdot \frac{m_1 r \omega}{m_2}\].

Таким образом, скорость человека должна быть равна половине произведения массы платформы, радиуса платформы и угловой скорости вращения платформы, деленной на массу человека. Все величины имеют известные значения, поэтому мы можем подставить их в формулу и решить для получения численного ответа.