Какую скорость имеет ракета массой 4 т на круговой орбите, радиус которой в два раза больше радиуса Земли? Во время

Buran_6856

50

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать законы сохранения импульса и механической энергии. Давайте начнем сначала.

Пусть \(M\) будет массой ракеты, \(v_1\) - исходной скоростью ракеты на круговой орбите и \(v_2\) - скоростью ракеты после маневра. Дано, что масса ракеты составляет 4 т, или 4000 кг. Радиус орбиты ракеты в два раза больше радиуса Земли, поэтому \(R_1 = 2R\), где \(R\) - радиус Земли.

Для того чтобы вычислить скорость ракеты на круговой орбите, мы можем использовать закон сохранения механической энергии. Механическая энергия на орбите равна кинетической энергии ракеты, то есть

\[
\frac{1}{2}Mv_1^2 = \frac{GM M}{2R}
\]

где \(G\) - гравитационная постоянная (приближенное значение \(6.67 \times 10^{-11}\) Н·м²/кг²). Теперь мы можем решить это уравнение относительно \(v_1\):

\[
v_1^2 = \frac{GM}{R}
\]

\[
v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}}
\]

После маневра скорость ракеты удваивается, то есть \(v_2 = 2v_1 = 2\sqrt{\frac{GM}{R}}\).

Теперь давайте рассмотрим вторую часть задачи. Масса газов, выбрасываемых реактивным двигателем, равна изменению импульса ракеты. Ускорение, вызванное выбросом газов, может быть вычислено как отношение силы выброса газов к массе ракеты-газовой системы. Сила выброса газов равна изменению импульса газов, что можно записать как \(F = \Delta p/\Delta t\).

Мы знаем, что скорость выброса газов составляет 1500 м/с. Пусть \(dm/dt\) будет массовым расходом газа, то есть массой газов, выбрасываемых в единицу времени. Это значит, что сила, действующая на ракету, равна \(F = (dm/dt) \cdot v_{\text{газа}}\), где \(v_{\text{газа}}\) - скорость выброса газов.

Теперь мы можем записать второй закон Ньютона для ракеты-газовой системы. Сила, действующая на систему, равна произведению массы системы и ее ускорения. Масса системы равна сумме массы ракеты и массы выброшенного газа, то есть \(M + \Delta m\), где \(M\) - изначальная масса ракеты.

С учетом этих факторов, второй закон Ньютона можно записать следующим образом:

\[
(M + \Delta m) \cdot a = (dm/dt) \cdot v_{\text{газа}}
\]

где \(a\) - ускорение ракеты.

Мы знаем, что ускорение ракеты вызвано силой тяжести и силой выброса газов. Сила тяжести равна силе центробежной силы на орбите, то есть \(F = \frac{Mv^2}{R_2}\), где \(v\) - скорость ракеты после маневра, \(R_2\) - радиус орбиты после маневра.

Таким образом, с учетом этих факторов, уравнение второго закона Ньютона можно записать следующим образом:

\[
(M + \Delta m) \cdot a = \frac{Mv^2}{R_2} + (dm/dt) \cdot v_{\text{газа}}
\]

Теперь нам нужно связать \(a\) и \(\Delta m\) с помощью закона сохранения импульса. Пусть \(v\) и \(v_r\) - скорости ракеты до и после маневра соответственно, а \(M_r\) и \(M_r + \Delta m\) - массы ракеты до и после маневра соответственно.

Закон сохранения импульса можно записать следующим образом:

\[
(M + \Delta m) \cdot v_r = M_r \cdot v
\]

\[
(M + \Delta m) \cdot v_r = (M + \Delta m) \cdot v + \Delta m \cdot v_{\text{газа}}
\]

\[
v_r = v + \frac{\Delta m}{M} \cdot v_{\text{газа}}
\]

Мы также можем записать закон сохранения энергии системы до и после маневра. Изначально энергия системы равна сумме кинетической энергии ракеты на орбите и потенциальной энергии ракеты на орбите, то есть

\[
E_1 = \frac{1}{2} M v^2 - \frac{GM M}{R}
\]

После маневра энергия системы равна сумме кинетической и потенциальной энергий ракеты на орбите после маневра, а также кинетической энергии выброшенных газов. То есть

\[
E_2 = \frac{1}{2} (M + \Delta m) v_r^2 - \frac{GM (M + \Delta m)}{R_2} + \frac{1}{2} \Delta m v_{\text{газа}}^2
\]

Учитывая, что \(v_r = v + \frac{\Delta m}{M} \cdot v_{\text{газа}}\), мы можем записать

\[
E_2 = \frac{1}{2} (M + \Delta m) \left( v + \frac{\Delta m}{M} \cdot v_{\text{газа}} \right)^2 - \frac{GM (M + \Delta m)}{R_2} + \frac{1}{2} \Delta m v_{\text{газа}}^2
\]

\[