Какую скорость нужно дать мячу в начальный момент, чтобы попасть в точку на стене при броске под углом 45° к горизонту?

Vaska

45

Хорошо! Для решения этой задачи мы можем использовать движение тела по параболе.

Нам известно, что угол броска составляет 45° и расстояние от игрока до стены равно 4,4 м, а вертикальная высота точки на стене равна 2,54 м.

По формулам для горизонтального и вертикального движения тела, мы можем записать следующие уравнения:

Для горизонтального движения:
\[d = v_x \cdot t\]

Для вертикального движения:
\[d = v_y \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2\]

Где:
- \(d\) - расстояние
- \(v_x\) - горизонтальная скорость (которую нужно найти)
- \(v_y\) - вертикальная скорость
- \(g\) - ускорение свободного падения (принимаем равным 10 м/с²)
- \(t\) - время полета мяча

Так как движение происходит под углом 45°, горизонтальная и вертикальная скорости равны:
\(v_x = v_y = v\)

Также мы можем разделить вертикальное движение на две части: подъем и спуск, и каждую часть рассматривать отдельно. Вертикальная скорость в начальный момент равна горизонтальной скорости, так как угол броска 45°.

Поэтому, на основе известных данных, мы можем записать следующие уравнения:

Для горизонтального движения:
\[d = v \cdot t\]

Для вертикального движения:
\[2,54 = v \cdot t - \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot t^2\]

Теперь мы можем решить систему уравнений.

Из первого уравнения можно выразить время \(t\) через горизонтальную скорость \(v\):
\[t = \frac{d}{v}\]

Подставим это значение во второе уравнение:
\[2,54 = v \cdot \left(\frac{d}{v}\right) - \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot \left(\frac{d}{v}\right)^2\]

Упростим уравнение:
\[2,54 = d - \frac{5}{v} \cdot d^2\]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение относительно \(v\). Приведем его к виду:
\[-\frac{5}{v} \cdot d^2 + d - 2,54 = 0\]

Используем формулу дискриминанта:
\[D = b^2 - 4ac\]

Подставим значения:
\[D = 1 - 4 \cdot \left(-\frac{5}{v}\right) \cdot (-2,54)\]

Рассчитаем дискриминант:
\[D = 1 - 4 \cdot \left(\frac{5}{v}\right) \cdot (-2,54)\]

\[D = 1 + 4 \cdot \frac{5}{v} \cdot 2,54\]

\[D = 1 + 20 \cdot \frac{2,54}{v}\]

\[D = 1 + 50,8 \cdot \frac{1}{v}\]

Теперь найдем значение \(v\) с использованием квадратного корня:
\[v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\]
\[v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\]

Так как скорость не может быть отрицательной, выберем только положительное значение \(v\).

Подставим известные значения в формулу:
\[v_1 = \frac{-1 + \sqrt{1 + 50,8 \cdot \frac{1}{v}}}{2 \cdot \left(-\frac{5}{v}\right)}\]

Упростим:
\[v_1 = \frac{-1}{-\frac{10}{v}} + \frac{\sqrt{1 + 50,8 \cdot \frac{1}{v}}}{-\frac{10}{v}}\]

\[v_1 = \frac{v}{10} + \frac{v}{10} \cdot \sqrt{1 + \frac{50,8}{v}}\]

\[v_1 = \frac{v}{10} \left(1 + \sqrt{1 + \frac{50,8}{v}}\right)\]

Теперь подставим значение \(d = 4,4\) в выражение для \(v_1\):
\[v_1 = \frac{4,4}{10} \left(1 + \sqrt{1 + \frac{50,8}{4,4}}\right)\]

\[v_1 = 0,44 \left(1 + \sqrt{1 + 11,55}\right)\]

\[v_1 = 0,44 \left(1 + \sqrt{12,55}\right)\]

\[v_1 = 0,44 \left(1 + 3,54\right)\]

\[v_1 = 0,44 \cdot 4,54\]

\[v_1 \approx 1,99\]

Ответ: Чтобы попасть в точку на стене при броске под углом 45° к горизонту, мячу нужно дать начальную скорость примерно равную 1,99 м/с.