Какую скорость получат санки, когда они спускаются с 40-метрового склона, образующего угол 30 градусов с горизонтом?

Сергей

52

Для решения этой задачи нам понадобятся законы физики, включая законы сохранения энергии.

1. Начнем с разложения гравитационной силы на составляющие. Так как склон образует угол 30 градусов с горизонтом, мы можем разложить силу тяжести \(F_g\) на две составляющие: параллельную склону (\(F_{g_\parallel}\)) и перпендикулярную склону (\(F_{g_\perp}\)). Формулы для этих составляющих следующие:

\[F_{g_\parallel} = mg \sin\theta\]
\[F_{g_\perp} = mg \cos\theta\]

где \(m\) - масса санок (предполагаем, что масса санок равна 1 кг), \(g\) - ускорение свободного падения (приближенно равно 9,8 м/с²), а \(\theta\) - угол, который склон образует с горизонтом.

2. Теперь применим закон сохранения энергии. Так как начальная скорость равна 0, энергия потенциальная санок в начальный момент времени равна энергии кинетической санок в конечный момент времени:

\[mgh = \frac{1}{2}mv^2\]

где \(h\) - высота склона (40 метров), а \(v\) - скорость санок.

3. Учитывая, что сила трения \(F_{\text{трения}} = \mu F_{g_\perp}\), где \(\mu\) - коэффициент трения, мы можем записать уравнение второго закона Ньютона для силы трения:

\[F_{\text{трения}} = ma = \mu F_{g_\perp}\]

где \(a\) - ускорение, \(m\) - масса санок, а \(F_{\text{трения}}\) - сила трения.

4. Подставляя значения из формулы (1) в формулу (3):

\[ma = \mu mg \cos\theta\]

5. Получаем уравнение для ускорения:

\[a = \mu g \cos\theta\]

6. Теперь мы можем использовать уравнение поступательного движения:

\[v^2 = u^2 + 2as\]

где \(u\) - начальная скорость, \(s\) - расстояние, \(a\) - ускорение.

7. В нашем случае начальная скорость \(u\) равна нулю, расстояние \(s\) равно высоте склона \(h\), а ускорение \(a\) равно \(\mu g \cos\theta\). Подставляя значения:

\[v^2 = 0 + 2(\mu g \cos\theta) \cdot h\]
\[v^2 = 2\mu g h \cos\theta\]

8. Возводим обе стороны в квадрат:

\[v = \sqrt{2\mu g h \cos\theta}\]

Теперь мы можем вычислить скорость санок: подставим значения \(\mu = 0,05\) (предположим, что это значение коэффициента трения), \(g = 9,8\) м/с², \(h = 40\) м и \(\theta = 30\) градусов в формулу (8):

\[v = \sqrt{2 \cdot 0,05 \cdot 9,8 \cdot 40 \cdot \cos(30^\circ)}\]

После подстановки и вычислений мы получим ответ. Ответ округлим до двух знаков после запятой:

\[v \approx 17,54 \, \text{м/с}\]

Таким образом, скорость санок, когда они спускаются с 40-метрового склона, составляет приблизительно 17,54 м/с.