Какую сумму можно выразить как произведение sinA, sin3A и sin6A?

Lunnyy_Renegat

41

Данная задача требует выражения суммы через произведение трех функций синус. Давайте рассмотрим ее решение шаг за шагом.

Заметим, что выражения sinA, sin3A и sin6A представляют собой значения синусов углов A, 3A и 6A соответственно. Мы знаем, что синусы углов суммы выражаются через произведение их синусов и косинусов. Для этой цели мы воспользуемся формулой синуса суммы двух углов:
\[\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B.\]

Здесь мы можем представить значения sin3A и sin6A в виде суммы sinA и некоторого угла B:
\[\sin3A = \sin(A + 2A) = \sin A \cos 2A + \cos A \sin 2A.\]
\[\sin6A = \sin(2A + 4A) = \sin 2A \cos 4A + \cos 2A \sin 4A.\]

Теперь, зная формулы синусов суммы и выражения sin3A и sin6A через sinA, можем выразить sinA, sin3A и sin6A через произведение sinA, sin3A и sin6A:
\[\sin3A = \sin A \cos 2A + \cos A \sin 2A = \sin A \cdot (2 \cos A \sin A) + \cos A \cdot (2 \sin A \cos A) = 2 \sin A \cos A (\sin A + \cos A).\]
\[\sin6A = \sin 2A \cos 4A + \cos 2A \sin 4A = (2 \sin A \cos A) \cdot (2 \cos 2A \sin 2A) + (\cos^2 2A - \sin^2 2A) \cdot (2 \sin 2A \cos 2A) = 4 \sin A \cos A (\cos^2 2A - \sin^2 2A).\]

Теперь можем выразить произведение sinA, sin3A и sin6A через произведение синусов углов A, 3A и 6A:
\[\sinA \cdot \sin3A \cdot \sin6A = 2 \sin A \cos A (\sin A + \cos A) \cdot 4 \sin A \cos A (\cos^2 2A - \sin^2 2A).\]

Дальше мы можем упростить это выражение, раскрыв скобки:
\[\sinA \cdot \sin3A \cdot \sin6A = 8 \sin^2 A \cos^2 A (\sin A + \cos A)(\cos^2 2A - \sin^2 2A).\]

Данное выражение дает нам произведение sinA, sin3A и sin6A через произведение синусов представленных углов. Важно отметить, что данная формула может быть дальше упрощена или преобразована в другую эквивалентную форму, в зависимости от конкретного контекста или требований задачи.

Надеюсь, данное пошаговое решение помогло вам понять, какую сумму можно выразить через произведение sinA, sin3A и sin6A. Если у вас остались какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задать их! Я всегда готов помочь!