Какую сумму натуральных решений имеет неравенство 3^x+2-3^x+3≤972?

Змея

70

Давайте решим данную задачу шаг за шагом для полного понимания.

Неравенство, которое нам дано: \(3^{x+2} - 3^{x+3} \leq 972\).

Шаг 1: Преобразование неравенства
Давайте начнём с преобразования данного неравенства. Мы можем заметить, что оба члена в левой части неравенства содержат степень \(3\). Мы можем применить свойство степеней для упрощения неравенства.

Применим свойство степеней \(a^m - a^n = a^n \cdot (a^{m-n} - 1)\) для преобразования неравенства:

\[3^{x+2} \cdot (1 - 3) \leq 972\]
\[3^{x+2} \cdot (-2) \leq 972\]

Шаг 2: Упрощение неравенства
Давайте продолжим упрощение неравенства. Умножим обе части на \(-\frac{1}{2}\), чтобы избавиться от отрицательного коэффициента.

\[3^{x+2} \geq -486\]

Шаг 3: Определение натуральных решений
Теперь нам нужно определить допустимые значения \(x\), чтобы неравенство выполнялось. Мы ищем натуральные решения, а значит, нужно найти натуральные числа, при подстановке которых в неравенство, оно выполняется.

Обратим внимание на свойство возрастания функции \(f(x) = 3^x\). Поскольку \(3^{x+2}\) стоит слева от неравенства, а дано неравенство "меньше или равно", нам нужно найти наименьшее натуральное значение \(x\), при котором будет выполняться условие \(3^{x+2} \geq -486\).

Мы замечаем, что правая сторона неравенства является отрицательным числом, а левая сторона всегда является положительным числом (получается при возведении положительного числа в любую степень). Таким образом, неравенство никогда не будет выполнено при любом натуральном значении \(x\).

Следовательно, неравенство \(3^{x+2} - 3^{x+3} \leq 972\) не имеет натуральных решений.

Итак, мы можем сделать вывод, что данное неравенство не имеет сумму натуральных решений.