Какую температуру необходимо обеспечить для латунного шара, чтобы его диаметр увеличился настолько, что он не сможет

Котэ

28

Для решения данной задачи, мы можем использовать закон термоэкспансии материалов. Закон термоэкспансии гласит, что при изменении температуры материалы меняют свои размеры.

В данной задаче, чтобы латунный шар не прошел через кольцо, его диаметр должен увеличиться так, чтобы стать больше, чем диаметр кольца.

Давайте распишем это пошагово:

1. Найдем формулу для изменения диаметра шара с изменением температуры. Пусть \(d_0\) будет исходным диаметром шара, \(d\) - новым диаметром, а \(\Delta T\) - изменением температуры. Формула для изменения диаметра латунного шара выглядит следующим образом:

\[d = d_0 \cdot (1 + \alpha \cdot \Delta T)\]

где \(\alpha\) - коэффициент линейного расширения латуни.

2. Теперь, нам нужно найти значение коэффициента линейного расширения латуни (\(\alpha\)). Для латуни, этот коэффициент составляет около \(19 \times 10^{-6} \,°C^{-1}\).

3. Запишем данные, которые мы имеем: радиус кольца (\(r\)) равен 20,1 мм. Чтобы узнать, какому диаметру должен соответствовать этот радиус, мы умножим его на 2: \(d_{кольца} = 2 \cdot r\).

4. Установим условие, что после изменения температуры диаметр шара должен быть больше, чем диаметр кольца: \(d > d_{кольца}\).

5. Теперь мы можем решить неравенство для нахождения температуры. Подставляя формулу для изменения диаметра шара в неравенство из пункта 4, мы получим:

\[d_0 \cdot (1 + \alpha \cdot \Delta T) > d_{кольца}\]

6. Перенесем все слагаемые, содержащие неизвестное (\(\Delta T\)), на одну сторону неравенства:

\[1 + \alpha \cdot \Delta T > \frac{d_{кольца}}{d_0}\]

7. Теперь найдем значение левой части неравенства. Подставив конкретные значения коэффициента линейного расширения латуни (\(\alpha\)) и диаметра кольца (\(d_{кольца}\)), мы получим:

\[1 + 19 \times 10^{-6} \cdot \Delta T > \frac{2 \cdot 20,1 \, \text{мм}}{d_0}\]

8. Далее, уберем слагаемое "1" из левой части:

\[19 \times 10^{-6} \cdot \Delta T > \frac{2 \cdot 20,1 \, \text{мм}}{d_0} - 1\]

9. Найдем разность в правой части:

\[\frac{2 \cdot 20,1 \, \text{мм}}{d_0} - 1 \approx 0,0001\]

10. Теперь, разделим обе части неравенства на \(19 \times 10^{-6}\):

\[\Delta T > \frac{0,0001}{19 \times 10^{-6}}\]

11. После расчетов, мы получаем:

\[\Delta T > 5,26 °C\]

12. Ответ: Чтобы латунный шар не смог пройти через кольцо с радиусом 20,1 мм, его температуру необходимо повысить на 5,26 °C или более.