Какую точку следует найти для функции y = 2x4 – 4х2? В каких интервалах функция y = 2x5 возрастает?

Sladkiy_Poni_1663

46

Для решения первой задачи, нам нужно найти точку, где функция \(y = 2x^4 - 4x^2\) достигает экстремума. Для этого мы должны найти значение \(x\), где производная функции равна нулю.

Давайте найдем производную функции \(y = 2x^4 - 4x^2\). Для этого мы применим правило дифференцирования степенной функции, где производная функции \(x^n\) равна \(nx^{n-1}\).

\[
\frac{d}{dx}(2x^4 - 4x^2) = 8x^3 - 8x
\]

Теперь нам нужно найти значения \(x\), при которых производная равна нулю:

\[
8x^3 - 8x = 0
\]

По счастью, этот уравнение можно факторизовать:

\[
8x(x^2 - 1) = 0
\]

Теперь мы имеем два возможных случая, когда производная равна нулю:

1. \(8x = 0\) даёт нам \(x = 0\).
2. \(x^2 - 1 = 0\) даёт нам \(x = -1\) и \(x = 1\).

Итак, мы получили три значения \(x\), где функция может достигать экстремумов: \(x = 0\), \(x = -1\) и \(x = 1\).

Теперь перейдем ко второй задаче, где нам нужно найти интервалы возрастания функции \(y = 2x^5\).

Чтобы определить интервалы возрастания, мы должны найти значения \(x\), для которых первая производная положительна. То есть, мы ищем значения \(x\), где производная функции \(2x^5\) больше нуля.

Давайте найдем производную функции \(2x^5\):

\[
\frac{d}{dx}(2x^5) = 10x^4
\]

Теперь мы должны решить неравенство \(10x^4 > 0\) для определения интервалов возрастания.

Здесь все значения \(x\), которые являются положительными, будут интервалами возрастания функции \(y = 2x^5\). Так как \(x^4\) всегда неотрицательно, мы знаем, что производная положительна для всех положительных значений \(x\).

Итак, функция \(y = 2x^5\) возрастает во всех положительных интервалах.