Какую жесткость необходимо выбрать для пружины, чтобы частота колебаний груза массой 200 грамм соответствовала частоте

Grey_1216

46

Чтобы решить данную задачу, нам понадобится использовать законы гармонических колебаний. Формула для расчета периода колебаний маятника имеет вид:

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} \]

где T - период колебаний, L - длина маятника, и g - ускорение свободного падения. Возьмем значения из условия задачи: L = 25 см = 0.25 м и g = 9.8 м/с².

Теперь нам нужно рассчитать период колебаний для маятника. Подставим известные значения в формулу:

\[ T_{\text{маятника}} = 2\pi\sqrt{\frac{0.25}{9.8}} \]

Вычислим значение:

\[ T_{\text{маятника}} \approx 1.00 \text{ секунда} \]

Теперь у нас есть период колебаний маятника равный 1.00 секунды.

Частота колебаний определяется как обратная величина периода. То есть:

\[ f_{\text{маятника}} = \frac{1}{T_{\text{маятника}}} \]

\[ f_{\text{маятника}} = \frac{1}{1.00} \]

\[ f_{\text{маятника}} = 1.00 \text{ Гц} \]

Теперь нам нужно найти жесткость пружины, чтобы ее частота колебаний соответствовала частоте колебаний маятника. Формула для расчета частоты колебаний пружины имеет вид:

\[ f_{\text{пружины}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} \]

где f_{\text{пружины}} - частота колебаний пружины, k - жесткость пружины, и m - масса груза.

В данной задаче масса груза равна 200 граммов, что составляет 0.2 кг. Подставляем известные значения и искомую частоту колебаний маятника.

\[ 1.00 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{0.2}} \]

Упростим выражение:

\[ 2\pi = \sqrt{\frac{k}{0.2}} \]

Возводим обе части уравнения в квадрат:

\[ 4\pi^2 = \frac{k}{0.2} \]

Умножаем обе части уравнения на 0.2:

\[ 0.8\pi^2 = k \]

Таким образом, чтобы частота колебаний груза соответствовала частоте колебаний маятника, необходимо выбрать пружину с жесткостью k, равной 0.8π² (примерное значение: 7.98 Н/м). Можно округлить это значение до 8 Н/м для практического использования.