Когда Ваня разделил некоторое натуральное число на 5, 6 и 11, он получил остатки. Сумма этих остатков составляет

Zvezdochka_3793

57

Давайте решим эту задачу пошагово.

1. Пусть задуманное число Ваней будет обозначено как \(x\).

2. Когда Ваня разделил это число на 5, он получил остаток. Обозначим этот остаток как \(x_1\). Тогда у нас есть \(x \equiv x_1 \pmod{5}\).

3. Когда Ваня разделил число \(x\) на 6, он получил другой остаток. Обозначим его как \(x_2\). Тогда у нас есть \(x \equiv x_2 \pmod{6}\).

4. Наконец, когда Ваня разделил число \(x\) на 11, он получил ещё один остаток. Обозначим его как \(x_3\). Тогда у нас есть \(x \equiv x_3 \pmod{11}\).

5. Согласно условию задачи, сумма остатков составляет 19. Это означает, что \(x_1 + x_2 + x_3 = 19\).

6. Мы также знаем, что задуманное число Ваней имеет остаток \(r\), когда оно делится на 33. Выражается это следующим образом: \(x \equiv r \pmod{33}\).

Теперь у нас все данные, чтобы решить эту систему уравнений.

7. Давайте рассмотрим остаток \(x_1\). Мы знаем, что \(x_1\) лежит в диапазоне от 0 до 4, потому что это остаток при делении на 5. Аналогично, \(x_2\) лежит в диапазоне от 0 до 5, а \(x_3\) от 0 до 10.

8. Теперь давайте рассмотрим остатки, когда числа 5, 6 и 11 делятся на 33. Для 5 получаем остаток 5, для 6 - остаток также 6, для 11 - остаток 11.

9. Теперь посмотрим, если мы прибавим эти остатки \(x_1\), \(x_2\) и \(x_3\) к остаткам при делении чисел 5, 6 и 11 на 33, получим ли мы сумму 19.

\[\begin{align*}
5 + 6 + 11 + x_1 + x_2 + x_3 &\stackrel{?}{=} 19 \\
22 + x_1 + x_2 + x_3 &\stackrel{?}{=} 19 \\
x_1 + x_2 + x_3 &\stackrel{?}{=} 19 - 22 \\
x_1 + x_2 + x_3 &\stackrel{?}{=} -3
\end{align*}\]

10. Получили, что сумма остатков \(x_1\), \(x_2\) и \(x_3\) должна быть равна -3.

11. Но мы знаем, что остатки всегда положительные числа. Поэтому, чтобы получить положительную сумму \(19 - 22\), нам нужно вычесть 33 (неоднократно) из -3:

\[(-3) + 33 + 33 + \ldots = 19 - 22\]

Заметим, что мы вычитаем 33, потому что это основной модуль, в котором рассматриваем остатки.

12. Таким образом, мы можем записать:

\[x_1 + x_2 + x_3 = -3 + 33n\]

где \(n\) - целое число.

13. Нам нужно, чтобы \(x_1 + x_2 + x_3\) было равным 19, поэтому:

\[-3 + 33n = 19\]

14. Решим это уравнение относительно \(n\):

\[33n = 19 + 3\]
\[33n = 22\]
\[n = \frac{22}{33} = \frac{2}{3}\]

15. Но мы знаем, что \(n\) должно быть целым числом, поэтому второй остаток равен 2:

\[n = 2\]

16. Теперь, зная \(n\), можем вычислить значение суммы остатков:

\[x_1 + x_2 + x_3 = -3 + 33 \cdot 2 = 63\]

17. Задуманное число Ваней будет иметь этот остаток, когда его разделят на 33.

Ответ: Остаток задуманного числа Ваней, если его разделить на 33, равен 63.