Кому изучение геометрии знакомо? Хорды MK и PT пересекаются в точке B на окружности. Длина MB равна 7, а BK равна

Черныш

17

Дано:

MB = 7, BK = 12, PT = 20, расстояние между точками M и Т = 8
PB < BT

Перед тем, как начать решать задачу, давайте введем следующие обозначения:
Угол PKM обозначим как α
Расстояние между точками P и М обозначим как d

Для начала, давайте найдем расстояние BM:
BM = MB + BK = 7 + 12 = 19

Теперь обратимся к треугольнику BPT. В этом треугольнике у нас имеются следующие отношения:

1) ΔBPT ~ ΔBKM по пропорциональности сторон, так как угол PMK является общим для обоих треугольников (он составляет 180 градусов минус угол PKM).

Из этого следует, что:
\(\frac{PT}{BK} = \frac{BM}{MK}\)

Подставляем известные значения:
\(\frac{20}{12} = \frac{19}{MK}\)
20MK = 12 * 19
MK = \(\frac{12 * 19}{20} = \frac{228}{20} = \frac{57}{5}\)

2) Также у нас есть отношение PB/BT. Мы знаем, что PB < BT, но это не дает нам конкретных значений, поэтому нам нужно использовать это отношение в других уравнениях.

Обозначим расстояние PT как х:
PT = x

Тогда расстояние теперь можно записать как BT - x:
BT = PT + TB = x + 8

Перепишем отношение PB/BT соответствующим образом:
\(\frac{PB}{BT} = \frac{x}{x + 8}\)

3) Также у нас есть следующее отношение для треугольников ΔBPT и ΔMBK:
\(\frac{PT}{BM} = \frac{TB}{MK}\)

Подставляем известные значения:
\(\frac{20}{19} = \frac{BT}{\frac{57}{5}}\)
\(\frac{100}{19} =\frac{x + 8}{\frac{57}{5}}\)

Теперь у нас есть два уравнения, связывающих x (расстояние PT) и угол α:

1) \(\frac{x}{x + 8} = PB\)
2) \(\frac{100}{19} =\frac{x + 8}{\frac{57}{5}}\)

Решаем второе уравнение относительно x:
\(\frac{100}{19} =\frac{x + 8}{\frac{57}{5}}\)
Домножаем обе стороны на \(\frac{57}{5}\):
\(\frac{57100}{95} = x + 8\)
Отнимаем 8 от обеих сторон:
\(\frac{57100}{95} - 8 = x\)
\(\frac{57100 - 8*95}{95} = x\)
\(\frac{57100 - 760}{95} = x\)
\(\frac{56340}{95} = x\)

Теперь решим первое уравнение, используя полученное значение x:
\(\frac{x}{x + 8} = PB\)
\(\frac{\frac{56340}{95}}{\frac{56340}{95} + 8} = PB\)
\(\frac{\frac{56340}{95}}{\frac{67140}{95}} = PB\)
\(\frac{56340}{67140} = PB\)
Отсюда PB = \(\frac{5634}{6714}\)

Теперь мы можем найти длину отрезка PT:
PT = BT - PB = x + 8 - PB = \(\frac{56340}{95} + 8 - \frac{5634}{6714} = \frac{56340}{95} + \frac{760}{95} - \frac{5634}{6714} = \frac{57040}{95} - \frac{5634}{6714}= \frac{114080 - 8448}{190} = \frac{105632}{190} = \frac{10496}{19}\)

Теперь давайте найдем косинус угла PKM. Для этого нам понадобится косинусная теорема. В треугольнике PKM:

\(\cos(\alpha) = \frac{PK^2 + MK^2 - PM^2}{2 * PK * MK}\)

Подставляем известные значения:
\(\cos(\alpha) = \frac{d^2 + (\frac{57}{5})^2 - 8^2}{2 * d * \frac{57}{5}} = \frac{d^2 + \frac{3249}{25} - 64}{\frac{114}{5}*d}\)

У нас есть значение d (расстояние PT):
d = \(\frac{56340}{95}\)

Подставляем значения в формулу и решаем уравнение:
\(\cos(\alpha) = \frac{(\frac{56340}{95})^2 + \frac{3249}{25} - 64}{\frac{114}{5}*\frac{56340}{95}}\)
\(\cos(\alpha) = \frac{\frac{56340}{95}*\frac{56340}{95} + \frac{3249}{25} - 64}{\frac{56340}{95}*\frac{114}{5}}\)
\(\cos(\alpha) = \frac{\frac{56340}{95}*\frac{56340}{95} + \frac{3249}{25} - 64}{\frac{641496}{5}}\)
\(\cos(\alpha) = \frac{\frac{3180525600}{9025} + \frac{8841}{25} - 64}{\frac{641496}{5}}\)
\(\cos(\alpha) = \frac{\frac{3180525600 + 8841*9025 - 64*9025}{9025}}{\frac{641496}{5}}\)
\(\cos(\alpha) = \frac{\frac{32266884400}{9025}}{\frac{641496}{5}}\)
\(\cos(\alpha) = \frac{\frac{32266884400}{9025}}{\frac{1282992}{5}}\)
\(\cos(\alpha) = \frac{32266884400*5}{9025*1282992}\)
\(\cos(\alpha) = \frac{161334422000}{11586062000}\)
\(\cos(\alpha) = \frac{16133442}{1158606}\)

Таким образом, получили ответы:
а) Косинус угла PKM равен \(\frac{16133442}{1158606}\)
б) Расстояние между точками P и M равно \(\frac{10496}{19}\) или, если захотим представить в виде корня, \(\sqrt{\frac{10496}{19}}\) или \(\frac{\sqrt{112384}}{19}\)