Конструируйте плоскость а, проходящую через точку Т, лежащую на отрезке МК и параллельную плоскости грани МНР, чтобы

Алексей

69

Чтобы конструировать плоскость "а", проходящую через точку Т и параллельную плоскости грани МНР, мы можем использовать следующий подход:

1. Найдем координаты точки Т, лежащей на отрезке МК. Для этого мы можем использовать отношение МТ : ТК, которое равно 2 : 5. Если мы предположим, что точка М имеет координаты (х1, у1, z1), а точка К - (х2, у2, z2), то координаты точки Т могут быть найдены следующим образом:

\[Т = \left(\frac{{2x_2 + 5x_1}}{7}, \frac{{2y_2 + 5y_1}}{7}, \frac{{2z_2 + 5z_1}}{7}\right)\]

2. Найдем нормальный вектор плоскости грани МНР. Это можно сделать с помощью векторного произведения двух векторов, например, \(\vec{МН}\) и \(\vec{МР}\). Если точка М имеет координаты (х1, у1, z1), точка Н - (х2, у2, z2), а точка Р - (х3, у3, z3), то нормальный вектор плоскости грани МНР может быть найден следующим образом:

\[\vec{n} = (\vec{МН} \times \vec{МР}) = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \end{vmatrix}\]

3. Теперь мы можем записать уравнение плоскости "а", используя формулу векторного уравнения плоскости:

\[\vec{n} \cdot \vec{r} = \vec{n} \cdot \vec{T}\]

Здесь \(\vec{r}\) - радиус-вектор точки Т, а \(\vec{T}\) - любой радиус-вектор, лежащий на плоскости "а".

4. Площадь грани МНР может быть найдена как площадь параллелограмма, образованного векторами \(\vec{МН}\) и \(\vec{МР}\). Площадь параллелограмма можно вычислить как модуль векторного произведения \(\vec{МН}\) и \(\vec{МР}\):

\[S_{МНР} = |\vec{МН} \times \vec{МР}|\]

Теперь, когда у нас есть все необходимые формулы, давайте рассчитаем ответ пошагово.

Шаг 1: Найдем координаты точки Т:
Пусть точка М имеет координаты (2, 4, 6), а точка К - (8, 10, 12).
Подставим эти значения в формулу:

\[Т = \left(\frac{{2 \cdot 8 + 5 \cdot 2}}{7}, \frac{{2 \cdot 10 + 5 \cdot 4}}{7}, \frac{{2 \cdot 12 + 5 \cdot 6}}{7}\right)\]
\[Т = \left(\frac{34}{7}, \frac{38}{7}, \frac{54}{7}\right)\]

Таким образом, координаты точки Т равны \(\left(\frac{34}{7}, \frac{38}{7}, \frac{54}{7}\right)\).

Шаг 2: Найдем нормальный вектор плоскости грани МНР:
Пусть точка М имеет координаты (2, 4, 6), точка Н - (8, 10, 12), а точка Р - (14, 16, 18).
Подставим эти значения в формулу:

\[\vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 8 - 2 & 10 - 4 & 12 - 6 \\ 14 - 2 & 16 - 4 & 18 - 6 \end{vmatrix}\]
\[\vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 6 & 6 & 6 \\ 12 & 12 & 12 \end{vmatrix}\]
\[\vec{n} = \vec{i} \cdot (6 \cdot 12 - 6 \cdot 12) - \vec{j} \cdot (6 \cdot 12 - 6 \cdot 12) + \vec{k} \cdot (6 \cdot 12 - 6 \cdot 12)\]
\[\vec{n} = \vec{0}\]

Таким образом, нормальный вектор плоскости грани МНР равен \(\vec{0}\).

Шаг 3: Запишем уравнение плоскости "а":
Учитывая, что нормальный вектор плоскости грани МНР равен \(\vec{0}\), уравнение плоскости "а" будет следующим:

\[0 \cdot x + 0 \cdot y + 0 \cdot z = 0\]

Или просто:

\[0 = 0\]

Таким образом, уравнение плоскости "а" определено тем же уравнением, что и грань МНР.

Шаг 4: Найдем площадь грани МНР:
Используя формулу для площади параллелограмма через векторное произведение, мы можем найти площадь грани МНР.
Подставим значения координат точек М, Н и Р в формулу:

\[S_{МНР} = |\vec{МН} \times \vec{МР}|\]
\[S_{МНР} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 8 - 2 & 10 - 4 & 12 - 6 \\ 14 - 2 & 16 - 4 & 18 - 6 \end{vmatrix}\]
\[S_{МНР} = |\vec{i} \cdot (6 \cdot 12 - 6 \cdot 12) - \vec{j} \cdot (6 \cdot 12 - 6 \cdot 12) + \vec{k} \cdot (6 \cdot 12 - 6 \cdot 12)|\]
\[S_{МНР} = |0 \cdot \vec{i} - 0 \cdot \vec{j} + 0 \cdot \vec{k}|\]
\[S_{МНР} = 0\]

Таким образом, площадь грани МНР равна 0.

Итак, мы конструировали плоскость "а", проходящую через точку Т, лежащую на отрезке МК и параллельную плоскости грани МНР. По заданию, площадь разреза составляет 12,5, однако, в данном случае, разрез отсутствует, а площадь грани МНР равна 0.