Какова площадь поверхности тела, полученного в результате вращения треугольника со сторонами 7, 15 и 20 см вокруг

Магический_Трюк

42

Для решения данной задачи нам понадобится применить формулу для нахождения площади поверхности тела вращения. Давайте пошагово разберемся в решении.

1) Вначале найдем высоту треугольника. Для этого можем использовать формулу герона для нахождения площади треугольника и формулу для высоты, соответствующей большей стороне треугольника.

а) Найдем полупериметр треугольника \(p\):
\[p = \frac{{a + b + c}}{2}\]
где \(a\), \(b\) и \(c\) - длины сторон треугольника.

В нашем случае это:
\(a = 7\) см, \(b = 15\) см, \(c = 20\) см.

Вычислим полупериметр:
\[p = \frac{{7 + 15 + 20}}{2} = \frac{{42}}{2} = 21\] см.

б) Площадь треугольника можно найти по формуле Герона:
\[S = \sqrt{{p(p - a)(p - b)(p - c)}}\]

Подставим значения и вычислим:
\[S = \sqrt{{21(21 - 7)(21 - 15)(21 - 20)}} = \sqrt{{21 \cdot 14 \cdot 6 \cdot 1}} = \sqrt{{1764}} = 42\] см².

в) Высота, соответствующая большей стороне треугольника, можно найти с помощью формулы:
\[h = \frac{{2S}}{a}\]

Подставим значения и вычислим:
\[h = \frac{{2 \cdot 42}}{7} = \frac{{84}}{7} = 12\] см.

2) Теперь перейдем к нахождению площади поверхности тела вращения.

а) Площадь поверхности тела вращения можно найти с помощью формулы:
\[S = 2\pi \cdot R \cdot L\]
где \(\pi\) (пи) - это математическая константа, примерное значение которой равно 3.14,
\(R\) - радиус поворота, который в нашем случае равен высоте треугольника \(h\),
\(L\) - длина дуги, которую описывает треугольник при вращении вокруг своей высоты.

б) Длина дуги \(L\) можно найти с помощью формулы:
\[L = 2\pi \cdot R\]
где \(R\) - радиус поворота, равный высоте треугольника \(h\).

Вычислим длину дуги:
\[L = 2\pi \cdot 12 = 24\pi\] см.

в) Теперь вычислим площадь поверхности тела вращения, подставив значения в формулу:
\[S = 2\pi \cdot 12 \cdot 24\pi = 576\pi^2\] см².

Ответ: Площадь поверхности тела, полученного в результате вращения треугольника со сторонами 7, 15 и 20 см вокруг его большей высоты, равна \(576\pi^2\) квадратных сантиметров.