Контрдоказательство изучает принимает лицо любой аргумент и помогает сначала отрицать этот аргумент

Magnitnyy_Magistr

43

Добро пожаловать! Чтобы показать, что множество чисел вида \(\frac{1}{3^k}\), где \(k\) является натуральным числом, счетно, нам необходимо установить соответствие (биекцию) между этим множеством и множеством натуральных чисел.

Давайте начнем с построения соответствия. Для этого мы будем использовать функцию \(f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Q}\), где \(\mathbb{N}\) - множество натуральных чисел, а \(\mathbb{Q}\) - множество рациональных чисел.

Мы хотим, чтобы элементу \(k \in \mathbb{N}\) соответствовало число \(\frac{1}{3^k}\).
Таким образом, наша функция будет выглядеть следующим образом:
\[f(k) = \frac{1}{3^k}\]

Докажем, что функция \(f\) является биекцией, то есть она является однозначным соответствием между элементами множества натуральных чисел и элементами множества \(\frac{1}{3^k}\).

1. Инъективность (инъекция): Предположим, что \(f(a) = f(b)\), где \(a\) и \(b\) - различные натуральные числа. Тогда получаем:
\[\frac{1}{3^a} = \frac{1}{3^b}\]
Умножим обе части уравнения на \(3^b\):
\[3^b \cdot \frac{1}{3^a} = 1\]
Теперь сократим \(3^a\) с числителем:
\[3^b \cdot 3^{-a} = 1\]
Применим свойство степени с отрицательным показателем:
\[3^{b-a} = 1\]
Так как значение степени равно 1, то \(b-a = 0\) или, иначе говоря, \(b = a\). Это означает, что функция \(f\) инъективна.

2. Сюръективность (сюръекция): Для доказательства сюръективности, нам нужно показать, что для любого числа \(\frac{1}{3^k}\) найдется натуральное число \(k\), такое что \(f(k) = \frac{1}{3^k}\). Рассмотрим произвольное рациональное число \(\frac{1}{3^k}\), где \(k\) - некоторое натуральное число.
Мы можем записать это число в виде \(f(k)\), где \(k\) лежит в множестве натуральных чисел. Таким образом, каждому элементу из множества \(\frac{1}{3^k}\) соответствует элемент из множества натуральных чисел. Это доказывает сюръективность функции \(f\).

Таким образом, мы доказали, что существует биекция между множеством чисел вида \(\frac{1}{3^k}\) и множеством натуральных чисел, что означает, что множество чисел вида \(\frac{1}{3^k}\) счетно.

Надеюсь, это поможет вам понять данную тему лучше. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать. Я всегда готов помочь!