Каковы длины двух наклонных и перпендикуляра, проведенных из точки вне прямой к этой прямой? Сумма длин наклонных равна

Krokodil

41

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать теорему Пифагора и свойства прямоугольного треугольника.

Пусть наклонная, проведенная из точки вне прямой к прямой, имеет длину \( a \), а вторая наклонная - длину \( b \). Также у нас есть две проекции данных наклонных на прямую: первая проекция равна 8 см, а вторая - 36 см. Таким образом, у нас есть прямоугольный треугольник, в котором катеты равны 8 см и 36 см.

Воспользуемся формулой для длины гипотенузы прямоугольного треугольника. Давайте обозначим длину перпендикуляра как \( c \).

\[
c = \sqrt{a^2 + b^2}
\]

Мы знаем, что сумма длин наклонных равна 56 см:

\[
a + b = 56
\]

Мы также знаем, что проекция первой наклонной равна 8 см, а проекция второй - 36 см:

\[
\frac{a}{c} = \frac{8}{56} \quad \text{и} \quad \frac{b}{c} = \frac{36}{56}
\]

Теперь, когда у нас есть система уравнений, мы можем решить ее двумя способами: методом подстановки или методом исключения. Давайте воспользуемся методом подстановки, чтобы определить длину наклонных и перпендикуляра.

Из первого уравнения выразим \( a \) через \( b \):

\[
a = 56 - b
\]

Теперь заменим \( a \) во втором уравнении и решим его относительно \( b \):

\[
\frac{56 - b}{c} = \frac{8}{56} \implies 56 - b = \frac{8c}{56} \implies b = 56 - \frac{8c}{56}
\]

Подставим это значение \( b \) в третье уравнение и решим его относительно \( c \):

\[
\frac{\left(56 - \frac{8c}{56}\right)}{c} = \frac{36}{56} \implies \frac{(56 \cdot 56 - 8c)}{56c} = \frac{36}{56}
\]

Упростим это уравнение:

\[
56 \cdot 56 - 8c = 36c
\]

Перенесем все члены с \( c \) в одну сторону:

\[
36c + 8c = 56 \cdot 56
\]

Сложим коэффициенты \( c \) и вычислим правую сторону:

\[
44c = 56 \cdot 56
\]

Разделим обе стороны на 44:

\[
c = \frac{56 \cdot 56}{44}
\]

Вычислим значение \( c \):

\[
c = 64 \, \text{см}
\]

Таким образом, длина перпендикуляра равна 64 см.