Корінь рівняння 3х-2/x+1=7 належить до якого проміжку?

Бублик

48

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом.

1. Сначала умножим обе части уравнения на \(x + 1\), чтобы избавиться от знаменателя:
\[ (3x - 2)(x + 1) = 7(x + 1) \]

2. Раскроем скобки:
\[ 3x^2 + 3x - 2x - 2 = 7x + 7 \]

3. Упростим уравнение:
\[ 3x^2 + x - 2 = 7x + 7 \]

4. Перенесем все переменные в левую часть уравнения:
\[ 3x^2 + x - 7x - 2 - 7 = 0 \]
\[ 3x^2 - 6x - 9 = 0 \]

5. Теперь решим квадратное уравнение. Для этого можно воспользоваться формулой дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac \]

где \( a = 3 \), \( b = -6 \) и \( c = -9 \).

6. Вычислим дискриминант:
\[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-9) \]
\[ D = 36 + 108 \]
\[ D = 144 \]

7. Так как значение дискриминанта больше нуля (\( D > 0 \)), то у уравнения есть два корня, и они различны.

8. Далее, найдем корни уравнения, используя формулу:
\[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}} \]

где \( \pm \) обозначает два значения, одно с плюсом и одно с минусом.

9. Подставим значения в формулу:
\[ x = \frac{{6 \pm \sqrt{144}}}{{2 \cdot 3}} \]
\[ x = \frac{{6 \pm 12}}{{6}} \]

10. Разделим каждое решение на 6:
\[ x_1 = \frac{{6 + 12}}{{6}} = \frac{{18}}{{6}} = 3 \]
\[ x_2 = \frac{{6 - 12}}{{6}} = \frac{{-6}}{{6}} = -1 \]

Таким образом, уравнение имеет два корня: \( x_1 = 3 \) и \( x_2 = -1 \).

11. Теперь найдем интервал, в котором находится корень уравнения \( 3x - \frac{2}{x + 1} = 7 \).

Для этого будем рассматривать значения \( x \) между корнями \( x_1 = 3 \) и \( x_2 = -1 \), а также значения справа и слева от этих корней.

Исключим значение \( x = -1 \) из интервала, поскольку при этом значении знаменатель \( x + 1 \) обращается в ноль, что противоречит начальному уравнению.

Таким образом, интервалом, в котором находится корень уравнения, является \( ( -\infty, -1 ) \cup ( -1, 3 ) \).

Надеюсь, это подробное пошаговое решение поможет вам лучше понять, как находить корни уравнений и на каком интервале лежит корень данного уравнения. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!