Используя свойства скалярного и векторного произведений, требуется вычислить угол между векторами a и b, а также

Molniya_3653

41

1. Начнем с вычисления векторов a и b:

Вектор a = 4p + 2q = 4(1) + 2(1) = 4 + 2 = 6
Вектор b = 3p - q = 3(1) - 1 = 3 - 1 = 2

Теперь у нас есть значения векторов a и b.

2. Длина вектора q также равна 1:

Длина вектора q = \|q\| = 1

3. Вычисляем векторное произведение между векторами a и b:

Векторное произведение \(a \times b\) можно вычислить по формуле:
\(a \times b = \|a\| \|b\| \sin(\theta)\), где \(\theta\) - угол между векторами a и b.

В этой задаче нам необходимо вычислить угол между векторами a и b, а также площадь параллелограмма, построенного на этих векторах. Используем свойства скалярного и векторного произведений для решения этой задачи.

Скалярное произведение \(a \cdot b\) может быть выражено через длины векторов и угол между ними следующим образом:
\(a \cdot b = \|a\| \|b\| \cos(\theta)\).

4. Вычислим скалярное произведение между векторами a и b:

Скалярное произведение \(a \cdot b\) можно вычислить по формуле:
\(a \cdot b = \|a\| \|b\| \cos(\theta)\), где \(\theta\) - угол между векторами a и b.

Зная, что длина вектора a равна 6, а длина вектора b равна 2, мы можем вычислить скалярное произведение:

\(a \cdot b = 6 \cdot 2 \cdot \cos(\theta)\)

5. Вычислим значения скалярного произведения \(a \cdot b\) и синуса угла \(\theta\):

Для вычисления значения угла \(\theta\) нам дано, что угол между векторами p и q равен \(\alpha = \frac{2\pi}{3}\). Также мы знаем, что скалярное произведение равно \(a \cdot b = 6 \cdot 2 \cdot \cos(\theta)\).

Теперь мы можем решить систему уравнений, чтобы найти значения \(\cos(\theta)\) и \(\sin(\theta)\). Используем свойство равенства скалярного и векторного произведений: \(a \cdot b = \|a\| \|b\| \cos(\theta) = 6 \cdot 2 \cdot \cos(\theta)\).

Решим уравнение, подставив значение скалярного произведения и длины векторов:

\(6 \cdot 2 \cdot \cos(\theta) = 12 \cdot \cos(\theta)\)

Отсюда следует, что \(\cos(\theta) = 1\).

Синус угла \(\theta\) может быть вычислен по формуле:
\(\sin(\theta) = \sqrt{1 - \cos^2(\theta)}\)

Подставим значение \(\cos(\theta) = 1\) и вычислим значение синуса угла \(\theta\):

\(\sin(\theta) = \sqrt{1 - 1^2} = \sqrt{0} = 0\)

Таким образом, получаем \(\cos(\theta) = 1\) и \(\sin(\theta) = 0\).

6. Вычислим значение угла \(\theta\):

Мы знаем, что \(\cos(\theta) = 1\). Используя таблицу значений тригонометрических функций, мы можем определить значение угла \(\theta\). В данном случае, косинус угла \(\theta\) равен 1, что соответствует углу \(0^\circ\).

7. Вычислим площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b:

Площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b, можно вычислить по формуле:
\(S = \|a\| \|b\| \sin(\theta)\), где \(\theta\) - угол между векторами a и b.

Мы знаем, что длины векторов a и b равны 6 и 2 соответственно, а синус угла \(\theta\) равен 0.

Подставим значения в формулу и вычислим площадь:

\(S = 6 \cdot 2 \cdot 0 = 0\)

Таким образом, площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b, равна 0.

Таким образом, мы вычислили угол между векторами a и b, который составляет \(0^\circ\), а также площадь параллелограмма, построенного на этих векторах, равную 0.