КР-2. Вариант 2. 1. Докажите, что точки М, N, К и Р, которые являются серединами рёбер АС, AD, BD и ВС соответственно

Сквозь_Холмы

43

1. Чтобы доказать, что точки М, N, К и Р образуют параллелограмм, нам нужно показать, что противоположные стороны параллельны и равны по длине. Давайте докажем каждую часть по очереди.

1.1 Доказательство параллельности сторон МК и NR:

Для начала рассмотрим сторону МК. Точка М - середина ребра АС, а точка К - середина ребра BD. Таким образом, МК является отрезком, соединяющим середины двух сторон тетраэдра. Мы знаем, что отрезок, соединяющий середины двух сторон параллелограмма, всегда параллелен и равен половине диагонали, проходящей между этими точками.

Теперь рассмотрим сторону NR. Точка N - середина ребра AD, а точка R - середина ребра ВС. Также, как и в предыдущем случае, NR является отрезком, соединяющим середины двух сторон. Следовательно, сторона NR также параллельна и равна половине диагонали.

Таким образом, стороны МК и NR параллельны.

1.2 Доказательство параллельности сторон МР и NK:

Для этого докажем, что отрезки МР и NK имеют равные длины.

Мы знаем, что точки М и К - середины рёбер AD и BD соответственно. Это означает, что отрезки МР и NK делят соответствующие рёбра пополам. По свойству серединного перпендикуляра отрезок, соединяющий середины двух сторон, является радиусом окружности, проведённой через эти точки и центральной точкой окружности, которая делит сторону пополам.

Таким образом, стороны МР и NK равны по длине.

Таким образом, мы доказали, что стороны МК и NR параллельны, а также стороны МР и NK равны по длине. Значит, точки М, N, К и Р образуют параллелограмм.

Чтобы найти периметр этого параллелограмма, нам нужно сложить длины всех его сторон. Стороны параллелограмма МК и NR равны по длине, и их длина равна половине суммы длин сторон тетраэдра DABC. Таким образом, периметр параллелограмма равен \(2(MK + NR)\).

2. Пусть сторона EF треугольника DEF равна x.

Так как плоскость γ параллельна стороне EF, то отношение длин отрезков CD и CF равно отношению длин сторон DE и DF. По условию отношение CD к CF равно 3:7. Значит, \(\frac{{CD}}{{CF}} = \frac{3}{7}\).

Также, из условия известно, что BC равно 9 см. Поэтому, отрезок BC равен отрезку CF. То есть, BC = CF = 9 см.

Используя известное отношение, можно записать уравнение: \(\frac{{CD}}{{9}} = \frac{3}{7}\).

Для нахождения стороны EF треугольника DEF, нам нужно найти значение отрезка CD. Подставим известные значения и решим уравнение:

\(\frac{{CD}}{{9}} = \frac{3}{7}\).

Умножим обе части уравнения на 9:

\(CD = \frac{3}{7} \times 9\).

Выполним вычисления:

\(CD = \frac{27}{7}\) см.

Таким образом, длина отрезка CD равна \(\frac{27}{7}\) см. Ответ: CD = \(\frac{27}{7}\) см.

3. Чтобы построить изображение радиуса вписанной окружности квадрата A1B1C1D1, нужно выполнить следующие шаги:

3.1 Найдите середину одной из сторон квадрата, например, стороны A1B1. Обозначим эту середину точкой M.
3.2 Проведите прямую, проходящую через точку M и центр окружности O. Эта прямая будет радиусом вписанной окружности.
3.3 Так как вписанная окружность квадрата A1B1C1D1 касается всех сторон квадрата, то радиус должен быть перпендикулярен к сторонам. Проведите перпендикуляры из центра окружности O к сторонам квадрата A1B1C1D1.
3.4 Пересечение перпендикуляров с квадратом даст точки касания окружности с каждой из сторон. Обозначим эти точки как E, F, G и H.
3.5 Соедините точки E, F, G и H линиями. Получится изображение радиуса вписанной окружности квадрата A1B1C1D1.

Таким образом, мы провели изображение радиуса вписанной окружности квадрата A1B1C1D1 на рисунке.