Кто из ребят решил все задачи новогоднего марафона? Найдите такие буквенные обозначения, что первое и второе

Мороз

51

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо найти такие буквенные обозначения, что первое и второе утверждения можно записать на языке алгебры логики. Давайте рассмотрим каждое утверждение по отдельности.

Первое утверждение гласит: "Если Михаил решил задачу, то Наталья ее не решила."

Давайте введем следующие обозначения:
- \(М\) - Михаил решил задачу
- \(Н\) - Наталья решила задачу

Тогда первое утверждение можно записать следующим образом: \((М \to \neg Н)\). Здесь \(\to\) символизирует импликацию, а \(\neg\) - отрицание.

Второе утверждение звучит так: "Если Наталья решила задачу, то Виктор решил задачу."

Аналогично, введем следующие обозначения:
- \(Н\) - Наталья решила задачу
- \(В\) - Виктор решил задачу

Тогда второе утверждение записывается как \((Н \to В)\).

Теперь объединим оба утверждения и попробуем найти такие буквенные обозначения, чтобы оба утверждения были истинными одновременно.

Используя алгебру логики, мы можем составить логическую формулу \(((М \to \neg Н) \land (Н \to В))\), где \(\land\) - логическое "И" (конъюнкция).

Вытаскивая отрицание \(\neg\) из первого утверждения, получим: \((\neg М \lor \neg Н) \land (Н \to В)\).

Далее, применим законы де Моргана и импликации:
\((\neg М \lor \neg Н) \land (\neg Н \lor В)\).

Получили логическую формулу, в которой присутствуют все три буквенных обозначения \(М\), \(Н\) и \(В\). Теперь рассмотрим все возможные комбинации их значений и найдем такую комбинацию, при которой формула будет истинной.

Таблица истинности:
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
М & Н & В & (\neg М \lor \neg Н) \land (\neg Н \lor В) \\
\hline
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
\hline
\end{array}
\]

Из таблицы истинности видно, что при значениях \(М = 0\), \(Н = 0\) и \(В = 0\) выражение \((\neg М \lor \neg Н) \land (\neg Н \lor В)\) истинно.

Таким образом, если Михаил, Наталья и Виктор не решили ни одной задачи новогоднего марафона, то оба утверждения будут верными на языке алгебры логики.