Куда нужно поставить третий заряд, чтобы он находился в равновесии с двумя зарядами +4.8*10^-9 Кл и +1.2*10^-9

Yastrebok_4350

67

Чтобы понять, куда нужно поместить третий заряд, чтобы он находился в равновесии с двумя другими зарядами, мы должны рассмотреть равновесие электрических сил, действующих на этот третий заряд.

Сила взаимодействия между двумя точечными зарядами определяется законом Кулона, который формулирует, что эта сила пропорциональна произведению зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

\[ F = \dfrac{{k \cdot |q_1 \cdot q_2|}}{{r^2}} \]

где \( F \) - сила взаимодействия, \( k \) - постоянная Кулона (\( 8.99 \times 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2 \)), \( q_1 \) и \( q_2 \) - заряды в Кулонах, а \( r \) - расстояние между зарядами в метрах.

Когда третий заряд будет находиться в равновесии с двумя другими зарядами, сумма электрических сил, действующих на него от обоих зарядов, должна быть равна нулю.

Это можно записать в виде уравнения:

\[ F_{12} = F_{13} + F_{23} \]

где \( F_{12} \) - сила взаимодействия между первым и вторым зарядами, \( F_{13} \) - сила взаимодействия между первым и третьим зарядами, \( F_{23} \) - сила взаимодействия между вторым и третьим зарядами.

Используя выражение для силы взаимодействия зарядов и подставляя известные значения, мы получим следующее уравнение:

\[ \dfrac{{k \cdot |q_1 \cdot q_2|}}{{r_{12}^2}} = \dfrac{{k \cdot |q_1 \cdot q_3|}}{{r_{13}^2}} + \dfrac{{k \cdot |q_2 \cdot q_3|}}{{r_{23}^2}} \]

где \( q_3 \) - заряд, который мы ищем, \( r_{12} \) - расстояние между первым и вторым зарядами, \( r_{13} \) - расстояние между первым и третьим зарядами, \( r_{23} \) - расстояние между вторым и третьим зарядами.

Мы знаем, что \( q_1 \) и \( q_2 \) равны \( +4.8 \times 10^{-9} \, \text{Кл} \) и \( +1.2 \times 10^{-9} \, \text{Кл} \) соответственно, а также расстояния \( r_{12} = 21 \, \text{см} = 0.21 \, \text{м} \) и \( r_{13} = r_{23} = r \) (поскольку третий заряд должен находиться на одинаковом расстоянии от первых двух зарядов, чтобы достичь равновесия).

Подставляя эти значения в уравнение, получим:

\[ \dfrac{{k \cdot |4.8 \times 10^{-9} \cdot 1.2 \times 10^{-9}|}}{{(0.21)^2}} = \dfrac{{k \cdot |4.8 \times 10^{-9} \cdot q_3|}}{{r^2}} + \dfrac{{k \cdot |1.2 \times 10^{-9} \cdot q_3|}}{{r^2}} \]

Сокращаем общий множитель \( k \) и решаем это уравнение относительно \( q_3 \).

\[ |4.8 \times 10^{-9} \cdot 1.2 \times 10^{-9}| = |4.8 \times 10^{-9} \cdot q_3| + |1.2 \times 10^{-9} \cdot q_3| \]

\[ 5.76 \times 10^{-18} = |6 \times 10^{-9} \cdot q_3| \]

\[ |q_3| = \dfrac{{5.76 \times 10^{-18}}}{{6 \times 10^{-9}}} \]

\[ |q_3| = 9.6 \times 10^{-10} \, \text{Кл} \]

Таким образом, третий заряд должен быть \( +9.6 \times 10^{-10} \, \text{Кл} \), чтобы находиться в равновесии с двумя зарядами \( +4.8 \times 10^{-9} \, \text{Кл} \) и \( +1.2 \times 10^{-9} \, \text{Кл} \), находящимися на расстоянии 21 см от друг друга.