Что такое расстояние между центром гиперболы Y=(12x-5)/(4x-8) и вершиной параболы y = –2x^2 + 20x?

Rodion

42

Чтобы найти расстояние между центром гиперболы и вершиной параболы, нам сначала нужно найти координаты центра гиперболы и вершины параболы. Затем мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками, чтобы решить задачу.

Для начала, давайте найдем координаты центра гиперболы. Гипербола в общей форме имеет уравнение вида \(\frac{{(y-k)^2}}{{a^2}} - \frac{{(x-h)^2}}{{b^2}} = 1\), где (h, k) - координаты центра гиперболы.

Исходное уравнение гиперболы \(y = \frac{{12x-5}}{{4x-8}}\) может быть преобразовано в общую форму путем выполнения алгебраических операций. Решим это.

Для начала умножим обе части уравнения на \((4x-8)^2\) чтобы исключить дроби:

\((4x-8)^2y = (12x-5)\)

Раскроем скобки в левой части:

\(16x^2 - 64x + 64)y = 12x - 5\)

Теперь упростим это уравнение дальше:

\(16x^2y - 64xy + 64y = 12x - 5\)

Извлекаем общий множитель y с левой стороны:

\(y(16x^2 - 64x + 64) = 12x - 5\)

Теперь деля эти уравнения на \((16x^2 - 64x + 64)\), мы можем найти значение y:

\(y = \frac{{12x - 5}}{{16x^2 - 64x + 64}}\)

Теперь, поскольку у нас есть координата y центра гиперболы, давайте найдем соответствующую координату x. Чтобы найти x, мы должны решить уравнение \((16x^2 - 64x + 64)\neq0\), так как деление на ноль запрещено.

Решим полученное уравнение, используя метод дискриминанта. Дискриминант равен \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 16\), \(b = -64\), и \(c = 64\). Подставим значения и решим дискриминант:

\(D = (-64)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 64 = 4096 - 4096 = 0\)

Поскольку дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень:

\(x = \frac{{-b}}{{2a}} = \frac{{-(-64)}}{{2 \cdot 16}} = \frac{{64}}{{32}} = 2\)

Таким образом, координаты центра гиперболы составляют (2, y).

Теперь перейдем к нахождению координаты вершины параболы. Когда парабола имеет уравнение вида \(y = ax^2 + bx + c\), координаты вершины могут быть найдены с помощью формулы \(x = \frac{{-b}}{{2a}}\) и \(y = f(x)\), где \(f(x)\) - это значение y, соответствующее найденному x.

Исходное уравнение параболы \(y = -2x^2 + 20x\) можно представить в виде \(y = -2(x^2 - 10x)\). Теперь мы можем найти значение x с помощью формулы:

\(x = \frac{{-b}}{{2a}} = \frac{{-20}}{{2 \cdot (-2)}} = \frac{{-20}}{{-4}} = 5\)

Затем найдем значение y, подставив найденное x в исходное уравнение параболы:

\(y = -2 \cdot (5^2) + 20 \cdot 5 = -2 \cdot 25 + 100 = -50 + 100 = 50\)

Таким образом, координаты вершины параболы составляют (5, 50).

Теперь мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками \(\sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\), чтобы найти расстояние между центром гиперболы и вершиной параболы. Подставим значения координат в формулу:

\(d = \sqrt{{(2 - 5)^2 + (y - 50)^2}}\)

\(d = \sqrt{{9 + (y - 50)^2}}\)

Таким образом, расстояние между центром гиперболы и вершиной параболы равно \(\sqrt{{9 + (y - 50)^2}}\).