Мат. статистика: Два студента получили тройки, 11 студентов получили четвёрки, а 5 студентов получили пятёрки

Юрий_873

20

Для определения исправленной дисперсии для выборки результатов экзамена нам необходимо знать среднее значение оценок и количество элементов в выборке.

Давайте начнем с подсчета среднего значения (математического ожидания) оценок в выборке.

Среднее значение оценок (x̄) можно найти, разделив сумму всех оценок на количество студентов в выборке. В данном случае, нам известно, что 2 студента получили тройки, 11 студентов получили четвёрки и 5 студентов получили пятёрки.

\[
x̄ = \frac{{(2 \cdot 3) + (11 \cdot 4) + (5 \cdot 5)}}{{2 + 11 + 5}}
\]

Выполнив вычисления, получаем:

\[
x̄ = \frac{{6 + 44 + 25}}{{18}} = \frac{{75}}{{18}} \approx 4.167
\]

Теперь, когда мы знаем значение среднего, можно приступить к расчету исправленной дисперсии.

Исправленная дисперсия (S^2) выражается через сумму квадратов разностей между каждой оценкой и средним значением, деленной на количество элементов в выборке минус 1.

\[
S^2 = \frac{{\sum_{i=1}^n (x_i - x̄)^2}}{{n - 1}}
\]

Где:
\(n\) - количество элементов в выборке,
\(x_i\) - i-ый элемент выборки.

В нашем случае, так как у нас известна только общая информация о количестве студентов, мы не можем использовать данную формулу напрямую. Однако, мы можем приблизительно оценить исправленную дисперсию, используя понятие несмещенной оценки дисперсии.

Несмещенная оценка дисперсии (S^2) выражается через сумму квадратов разностей между каждой оценкой и средним значением, деленной на количество элементов в выборке.

\[
S^2 \approx \frac{{\sum_{i=1}^n (x_i - x̄)^2}}{{n}}
\]

Заметим, что в формуле разность между каждой оценкой и средним значением возводится в квадрат.

Для вычисления несмещенной оценки дисперсии в нашем случае, мы можем заменить \(n\) на сумму всех оценок, так как суммы количества студентов совпадают с фактическим количеством всех элементов в выборке.

\[
S^2 \approx \frac{{(2 \cdot (3 - 4.167)^2) + (11 \cdot (4 - 4.167)^2) + (5 \cdot (5 - 4.167)^2)}}{{2 + 11 + 5}}
\]

После выполнения вычислений, получаем:

\[
S^2 \approx \frac{{(2 \cdot 1.951689) + (11 \cdot 0.190081) + (5 \cdot 0.017689)}}{{18}} \approx 0.564
\]

Итак, приближенная несмещенная оценка дисперсии составляет приблизительно 0.564 для данной выборки результатов экзамена.