Могут ли координаты третьей вершины треугольника быть: 1) (7; 2); 2) (2; -3), если точки A (-1; 2) и B (7; 4) являются

Vintik

54

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника. Теорема Пифагора утверждает, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Таким образом, мы можем использовать данную теорему, чтобы проверить, являются ли данные точки вершинами прямоугольного треугольника.

1) Для точки (7; 2):
Расстояние между точками A и B равно:
\[AB = \sqrt{(7 - (-1))^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}\]

Расстояние между точкой A и точкой (7; 2) равно:
\[AA" = \sqrt{(-1 - 7)^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{64} = 8\]

Расстояние между точкой B и точкой (7; 2) равно:
\[BB" = \sqrt{(7 - 7)^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{4} = 2\]

Применим теорему Пифагора:
\[(AA")^2 + (BB")^2 = (AB)^2\]
\[(8)^2 + (2)^2 = (2\sqrt{17})^2\]
\[64 + 4 = 68\]
\[68 = 68\]

Полученное уравнение выполняется для точки (7; 2). Следовательно, координаты третьей вершины треугольника могут быть равны (7; 2).

2) Для точки (2; -3):
Расстояние между точками A и B остается тем же:
\[AB = 2\sqrt{17}\]

Расстояние между точкой A и точкой (2; -3) равно:
\[AA" = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (2 - (-3))^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}\]

Расстояние между точкой B и точкой (2; -3) равно:
\[BB" = \sqrt{(7 - 2)^2 + (4 - (-3))^2} = \sqrt{25 + 49} = \sqrt{74}\]

Применим теорему Пифагора:
\[(AA")^2 + (BB")^2 = (AB)^2\]
\[(\sqrt{34})^2 + (\sqrt{74})^2 = (2\sqrt{17})^2\]
\[34 + 74 = 68\]
\[108 \neq 68\]

Полученное уравнение не выполняется для точки (2; -3). Следовательно, координаты третьей вершины треугольника не могут быть (2; -3).

Итак, ответ на задачу: координаты третьей вершины треугольника могут быть (7; 2), но не могут быть (2; -3).