Может ли равенство быть выполнено для нечетной функции f: f(1) + f(-1) = 1, f(2) * f(-2) = 3, и f(-2)/f(2

David

1

Дано равенство: \(f(1) + f(-1) = 1\)

Для начала, давайте взглянем на первое условие. У нас дано, что функция \(f\) есть нечетная функция. Нечетная функция обладает свойством симметрии относительно начала координат. Это значит, что значение функции в точках \(-x\) и \(x\) будет иметь одинаковую величину, но противоположный знак.

Таким образом, мы можем записать равенство \(f(1) + f(-1) = 1\) в следующем виде: \(f(1) - f(1) = 1\).

После упрощения получаем: \(0 = 1\).

Такое равенство невозможно, поскольку нуль не равен единице. Поэтому данное условие не выполняется.

Перейдем ко второму условию: \(f(2) \cdot f(-2) = 3\).

Мы знаем, что функция \(f\) является нечетной функцией, поэтому \(f(2) = -f(-2)\).

Подставляя это в уравнение, мы получаем \((-f(-2)) \cdot f(-2) = 3\).

Упрощая это равенство, получаем: \(-f(-2)^2 = 3\).

Теперь давайте рассмотрим третье условие: \(\frac{{f(-2)}}{{f(2)}}\) .

Мы знаем, что \(f(2) = -f(-2)\), поэтому \(\frac{{f(-2)}}{{f(2)}} = \frac{{-f(-2)}}{{f(2)}}\).

Подставив это в уравнение, получаем \(\frac{{-f(-2)}}{{f(2)}} = \frac{{-f(-2)}}{{-f(-2)}} = 1\).

Итак, мы получили, что \(\frac{{f(-2)}}{{f(2)}} = 1\), если выполнено условие \(f(2) \cdot f(-2) = 3\).

Итак, чтобы уравнение \(f(1) + f(-1) = 1, f(2) \cdot f(-2) = 3\) и \(\frac{{f(-2)}}{{f(2)}} = 1\) выполнилось, функция \(f\) должна быть такой, что \(f(2) \cdot f(-2) = 3\) и \(f(1) + f(-1) = 1\).