Может ли в турнире с пятнадцатью шахматистами некоторые четыре участника набрать больше очков, чем все остальные

Магический_Лабиринт_959

21

Конечно, я могу помочь! Давайте разберемся с этой задачей.

Чтобы определить, можно ли некоторым четырем участникам набрать больше очков, чем все остальные участники вместе взятые, нам нужно рассмотреть максимальное количество очков, которое можно набрать на этом турнире.

В турнире с 15 шахматистами общее количество партий равно \(\binom{15}{2}\), так как каждый шахматист должен сыграть с каждым другим игроком. Давайте посчитаем это значение:

\(\binom{15}{2} = \frac{15!}{2!(15-2)!} = \frac{15 \cdot 14}{2} = 105\)

Таким образом, всего будет сыграно 105 партий.

Теперь, чтобы вычислить максимальное количество очков, давайте представим самый блестящий сценарий для четырех участников. Допустим, эти четыре участника выиграют все свои партии. Они сыграют со всеми остальными 11 игроками и в каждой партии получат по 1 очку за победу.

Таким образом, максимальное количество очков, которое могут набрать эти четыре участника, будет равно:

\(4 \cdot 11 \cdot 1 = 44\)

Теперь давайте посмотрим, сколько максимально очков могут набрать остальные 11 участников. У каждого из них будет 11 партий, которые они сыграют против остальных 14 игроков. Но поскольку максимум 1 очко может быть начислено за одну партию, максимальное количество очков для 11 остальных игроков будет:

\(11 \cdot 14 \cdot 1 = 154\)

Теперь сложим оба значения для максимального количества очков, получим:

\(44 + 154 = 198\)

Общее максимально возможное количество очков, которое может быть набрано на этом турнире, равно 198.

Теперь сравним это значение с общим количеством возможных очков, которые могут быть набраны в этом турнире. Общее количество возможных партий равно 105, а максимальное количество возможных очков равно 198. Поскольку 198 больше, чем 105, это означает, что некоторым четырем участникам можно набрать больше очков, чем все остальные игроки вместе взятые.

Давайте рассмотрим пример такого турнира. Предположим, что шахматисты А, Б, В и Г выигрывают все свои партии, получая по 1 очку за победу. Тогда они набирают в сумме 44 очка, в то время как все остальные игроки могут набрать только 154 очка вместе взятые. Это демонстрирует, что четыре участника могут набрать больше очков, чем все остальные вместе взятые.

Надеюсь, этот развернутый ответ помог вам понять задачу!