Можете ли вы доказать, что многочлен х³ + 2х - 5 не является кратным многочлену х

Игоревна

27

Да, конечно! Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Для начала, давайте предположим, что многочлен \(х^3 + 2х - 5\) является кратным многочлену \(х\). Это означает, что мы можем поделить многочлен \(х^3 + 2х - 5\) на \(х\) без остатка.

Теперь давайте произведем деление синтетическим методом. Для этого нам нужно записать многочлен \(х^3 + 2х - 5\) в стандартной форме, где все степени многочлена отсортированы в порядке убывания:

\[х^3 + 2х - 5\]

Теперь давайте поделим первый член \(х^3\) на \(х\):

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
х^3 + 2х - 5 & х \\
\hline
\end{array}
\]

Мы можем разделить \(х^3\) на \(х\) и получить \(х^2\):

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
х^3 + 2х - 5 & х \\
\hline
-х^3 & \\
\hline
2х - 5 & \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь давайте продолжим деление дальше. Разделим \(2х\) на \(х\):

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
х^3 + 2х - 5 & х \\
\hline
-х^3 & 2х \\
\hline
2х - 5 & \\
\hline
\end{array}
\]

Таким образом, \(2х\) разделив на \(х\), мы получим \(2\):

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
х^3 + 2х - 5 & х \\
\hline
-х^3 & 2х \\
\hline
2х - 5 & \\
\hline
& 2 \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь давайте поделим последний член \(-5\) на \(х\):

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
х^3 + 2х - 5 & х \\
\hline
-х^3 & 2х \\
\hline
2х - 5 & \\
\hline
& 2 \\
\hline
\end{array}
\]

Разделив \(-5\) на \(х\), мы не получим целое число, так как осталось остаток \(-5\).

Теперь у нас есть остаток \(-5\), который не равен нулю. Отсюда следует, что многочлен \(х^3 + 2х - 5\) не делится на \(х\) без остатка. Следовательно, многочлен \(х^3 + 2х - 5\) не является кратным многочлену \(х\).

Таким образом, мы доказали, что многочлен \(х^3 + 2х - 5\) не является кратным многочлену \(х\).