Можете ли вы предоставить доказательство того, что диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой

Луна_В_Омуте

49

Конечно, я могу предоставить доказательство того, что диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Для начала, давайте рассмотрим параллелепипед, который имеет грани прямоугольниками. Обозначим его вершины как A, B, C, D, E, F, G, и H (см. рисунок).

Пусть диагональ AC пересекает диагональ EG в точке M. Мы хотим доказать, что M - это середина обеих диагоналей.

\[
\begin{align*}
A(0,0,0) \quad & B(a,0,0) \\
C(a,b,0) \quad & D(0,b,0) \\
E(0,0,c) \quad & F(a,0,c) \\
G(a,b,c) \quad & H(0,b,c)
\end{align*}
\]

\[
\begin{tikzpicture}
\coordinate[label=left:\(A(0,0,0)\)] (A) at (0,0);
\coordinate[label=right:\(B(a,0,0)\)] (B) at (4,0);
\coordinate[label=right:\(C(a,b,0)\)] (C) at (6,2);
\coordinate[label=left:\(D(0,b,0)\)] (D) at (2,2);
\coordinate[label=left:\(E(0,0,c)\)] (E) at (0,4);
\coordinate[label=right:\(F(a,0,c)\)] (F) at (4,4);
\coordinate[label=right:\(G(a,b,c)\)] (G) at (6,6);
\coordinate[label=left:\(H(0,b,c)\)] (H) at (2,6);

\draw[dashed] (A) -- (B) -- (F) -- (E) -- cycle;
\draw[] (C) -- (B) -- (F) -- (G) -- cycle;
\draw[dashed] (A) -- (E);
\draw[dashed] (D) -- (H) -- (G);
\draw[dashed] (D) -- (C);
\draw[] (H) -- (E);
\draw[] (C) -- (G);

\draw[fill=black] (intersection cs: first line={(A)--(C)}, second line={(E)--(G)}) coordinate[label=above right:\(M\)] (M) circle[radius=2pt];
\end{tikzpicture}
\]

Чтобы доказать, что M - середина обеих диагоналей, мы должны показать, что координаты точки M равны полусумме соответствующих координат точек A и G.

Координаты точек A и G:

\[
A(0,0,0) \quad G(a,b,c)
\]

Полусумма соответствующих координат:

\[
\frac{1}{2} (0 + a) = \frac{a}{2} \quad \frac{1}{2} (0 + b) = \frac{b}{2} \quad \frac{1}{2} (0 + c) = \frac{c}{2}
\]

Координаты точки M:

\[
M\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}, \frac{c}{2}\right)
\]

Таким образом, координаты точки M равны полусумме соответствующих координат точек A и G, что и доказывает, что диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.