Можно ли подтвердить, что векторы е1(-1; 2) и е2(2; 1) являются базисом в множестве всех векторов на плоскости, и найти

Sergeevna

23

Для начала, мы можем проверить, являются ли векторы \(\mathbf{e}_1\) и \(\mathbf{e}_2\) линейно независимыми. Если да, то они могут образовывать базис для множества всех векторов на плоскости.

Для проверки линейной независимости, давайте предположим, что существуют такие коэффициенты \(a\) и \(b\), которые не равны нулю, что:

\[a\mathbf{e}_1 + b\mathbf{e}_2 = \mathbf{0}\]

Подставляя значения \(\mathbf{e}_1 = (-1, 2)\) и \(\mathbf{e}_2 = (2, 1)\), получаем:

\[
a(-1, 2) + b(2, 1) = (0, 0)
\]

Раскрыв скобки и приравняв соответствующие компоненты, получим следующие уравнения:

\[
\begin{cases}
-a + 2b = 0 \\
2a + b = 0
\end{cases}
\]

Теперь можно решить эту систему уравнений для \(a\) и \(b\). Найдя значения \(a\) и \(b\), которые являются ненулевыми и удовлетворяют уравнениям, мы сможем сказать, что векторы \(\mathbf{e}_1\) и \(\mathbf{e}_2\) являются линейно независимыми и образуют базис в множестве всех векторов на плоскости.

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы избавиться от \(a\):

\[
\begin{cases}
-a + 2b = 0 \\
3b = 0
\end{cases}
\]

Отсюда видно, что \(b = 0\), а значит, \(a = 0\) тоже. Таким образом, получается, что \(a\) и \(b\) равны нулю, что подтверждает линейную независимость векторов \(\mathbf{e}_1\) и \(\mathbf{e}_2\). Следовательно, они являются базисом в множестве всех векторов на плоскости.

Далее, чтобы найти разложение вектора \(\mathbf{a} = (0, -2)\) по этому базису, нам необходимо найти такие коэффициенты \(x\) и \(y\), что:

\[
x\mathbf{e}_1 + y\mathbf{e}_2 = \mathbf{a}
\]

Подставляя значения базисных векторов и вектора \(\mathbf{a}\), у нас получается следующая система уравнений:

\[
\begin{cases}
-x + 2y = 0 \\
2x + y = -2
\end{cases}
\]

Решая эту систему, мы найдем значения \(x\) и \(y\), которые представляют разложение вектора \(\mathbf{a}\) по базису \(\mathbf{e}_1\) и \(\mathbf{e}_2\).

Добавим первое уравнение ко второму, чтобы избавиться от \(x\):

\[
\begin{cases}
-x + 2y = 0 \\
3y = -2
\end{cases}
\]

Отсюда видно, что \(y = -\frac{2}{3}\). Затем, подставив это значение \(y\) в первое уравнение, найдем \(x\):

\[
-x + 2\left(-\frac{2}{3}\right) = 0 \implies -x - \frac{4}{3} = 0 \implies x = -\frac{4}{3}
\]

Таким образом, разложение вектора \(\mathbf{a}\) по базису \(\mathbf{e}_1\) и \(\mathbf{e}_2\) равно:

\[
\mathbf{a} = -\frac{4}{3}\mathbf{e}_1 - \frac{2}{3}\mathbf{e}_2
\]

Я надеюсь, что полученное разложение вектора и ответы на вопросы понятны для вас. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!