На данном графике изображается связь между силовой характеристикой гравитационного поля и расстоянием. Обоснуйте

Andreevna

2

Для ответа на этот вопрос, нам понадобится обращение к закону всемирного тяготения, который формулируется следующим образом:

\[ F = \frac{{G \cdot M \cdot m}}{{r^2}} \]

Где \( F \) - сила притяжения между двумя телами, \( G \) - гравитационная постоянная (приближенное значение \( 6.67 \times 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2 \)), \( M \) - масса планеты, \( m \) - масса тела, расстояние до которого от планеты равно \( r \).

Так как мы сравниваем зависимость силы от расстояния, исходя из данной задачи, можно предположить, что масса тела остается постоянной, а само тело находится на поверхности планеты. Поскольку планета будет представлять значительно большую массу по сравнению с телом, тело будет испытывать силу притяжения к планете.

Силовая характеристика гравитационного поля обычно определяется как сила притяжения, действующая на единичную массу:

\[ g = \frac{{F}}{{m}} = \frac{{G \cdot M \cdot m}}{{r^2}} \cdot \frac{{1}}{{m}} = \frac{{G \cdot M}}{{r^2}} \]

Таким образом, градиент графика, который изображает связь между силовой характеристикой гравитационного поля и расстоянием, будет равен:

\[ \frac{{\Delta g}}{{\Delta r}} = \frac{{\Delta \left(\frac{{G \cdot M}}{{r^2}}\right)}}{{\Delta r}} = \frac{{\frac{{G \cdot M}}{{(r + \Delta r)^2}} - \frac{{G \cdot M}}{{r^2}}}}{{\Delta r}} \]

Поскольку график подразумевает непрерывную функцию, мы можем взять предел этого выражения при \(\Delta r\) стремящемся к нулю:

\[ \lim_{{\Delta r \to 0}} \frac{{\frac{{G \cdot M}}{{(r + \Delta r)^2}} - \frac{{G \cdot M}}{{r^2}}}}{{\Delta r}} \]

Для упрощения данного выражения, мы можем вспомнить правило дифференцирования для обратного квадрата:

\[ \frac{{d}}{{dx}} \left(\frac{{1}}{{x^2}}\right) = -2 \cdot \frac{{1}}{{x^3}} \]

Подставим данную производную в пределе:

\[ \lim_{{\Delta r \to 0}} \frac{{G \cdot M \cdot \left(\frac{{1}}{{(r + \Delta r)^2}} - \frac{{1}}{{r^2}}\right)}}{{\Delta r}} \]

Раскроем скобки и упростим:

\[ \lim_{{\Delta r \to 0}} \frac{{G \cdot M}}{{\Delta r}} \cdot \left(\frac{{1}}{{(r + \Delta r)^2}} - \frac{{1}}{{r^2}}\right) \]

Далее, воспользуемся разложением разности двух квадратов:

\[ \left(a - b\right)\left(a + b\right) = a^2 - b^2 \]

Применим данный факт к нашему выражению и упростим его:

\[ \lim_{{\Delta r \to 0}} \frac{{G \cdot M}}{{\Delta r}} \cdot \left(\frac{{1}}{{(r + \Delta r)^2}} - \frac{{1}}{{r^2}}\right) = \lim_{{\Delta r \to 0}} \frac{{G \cdot M}}{{\Delta r}} \cdot \left(\frac{{r^2 - (r + \Delta r)^2}}{{r^2 \cdot (r + \Delta r)^2}}\right) \]

Далее, раскроем квадрат в числителе:

\[ \lim_{{\Delta r \to 0}} \frac{{G \cdot M}}{{\Delta r}} \cdot \left(\frac{{r^2 - (r^2 + 2r \cdot \Delta r + \Delta r^2)}}{{r^2 \cdot (r + \Delta r)^2}}\right) \]

Выполним упрощение:

\[ \lim_{{\Delta r \to 0}} \frac{{G \cdot M}}{{\Delta r}} \cdot \left(\frac{{-2r \cdot \Delta r - \Delta r^2}}{{r^2 \cdot (r + \Delta r)^2}}\right) \]

Заметим, что в числителе присутствуют два малых слагаемых \(-2r \cdot \Delta r\) и \(-\Delta r^2\), в то время как в знаменателе \(\Delta r\) умножается на \((r + \Delta r)^2\), что приводит к более быстрому уменьшению при стремлении \(\Delta r\) к нулю. Таким образом, можно безопасно проигнорировать слагаемые с \(\Delta r\) в числителе. Остается:

\[ \lim_{{\Delta r \to 0}} \frac{{G \cdot M}}{{\Delta r}} \cdot \left(\frac{{- \Delta r^2}}{{r^2 \cdot (r + \Delta r)^2}}\right) \]

При взятии предела \(\Delta r\) стремящегося к нулю, \(\Delta r^2\) также будет стремиться к нулю. Мы можем записать предел как произведение ненулевых величин:

\[ \lim_{{\Delta r \to 0}} \frac{{G \cdot M}}{{\Delta r}} \cdot \lim_{{\Delta r \to 0}} \frac{{- \Delta r^2}}{{r^2 \cdot (r + \Delta r)^2}} \]

Первое слагаемое является константой, умножаемой на предел отношения, где все величины являются константами за исключением \(\Delta r\), поэтому:

\[ \frac{{G \cdot M}}{{\Delta r}} \cdot \lim_{{\Delta r \to 0}} \frac{{- \Delta r^2}}{{r^2 \cdot (r + \Delta r)^2}} = G \cdot M \cdot \lim_{{\Delta r \to 0}} \frac{{- \Delta r^2}}{{\Delta r \cdot r^2 \cdot (r + \Delta r)^2}} \]

Используем алгебраическое упрощение и сокращение:

\[ G \cdot M \cdot \lim_{{\Delta r \to 0}} \frac{{- \Delta r}}{{r^2 \cdot (r + \Delta r)^2}} = G \cdot M \cdot \lim_{{\Delta r \to 0}} \frac{{- 1}}{{r^2 \cdot (r + \Delta r)}} \]

Теперь вспомним оригинальную формулу для силы притяжения:

\[ F = \frac{{G \cdot M \cdot m}}{{r^2}} \]

Мы можем выбрать \( m = 1 \) и \( F = g \), получив:

\[ g = G \cdot M \cdot \frac{{1}}{{r^2}} \]

Из этого можно сделать вывод, что градиент графика, изображающего связь между силовой характеристикой гравитационного поля и расстоянием, будет равен \( GM \), где \( M \) - масса планеты.

Чтобы определить массу планеты, мы должны использовать другие источники информации, такие как проведение экспериментов или наблюдения. В данном случае, я не могу предоставить ответ на этот вопрос без дополнительных данных.