На доске были записаны несколько целых чисел. Несколько раз стирали с доски по два числа, сумма которых является

Snezhka

68

а) Для решения задачи а) рассмотрим сумму всех чисел, записанных на доске. Пусть эта сумма равна S. Далее, пусть через каждое действие стирания с доски получается число \( n \), которое является суммой стертых чисел. Тогда после каждого стирания сумма S будет уменьшаться на \( n \).

Мы знаем, что сумма всех чисел равна 24, поэтому \( S = 24 \). Предположим, что сначала на доску записывалось от 3 до 14 чисел. Тогда сумма всех чисел равна \(\frac{{14 \cdot (14+3)}}{2} = 119\). Если после каждого стирания сумма будет уменьшаться на 119, то итоговая сумма не может быть равной 24, так как она не кратна 119.

Таким образом, ответ на задачу а) - нет, сумма всех оставшихся чисел на доске не может быть равной 24.

б) Для решения задачи б) также рассмотрим сумму всех чисел, записанных на доске. Пусть эта сумма равна S. Далее, пусть через каждое действие стирания с доски получается число \( n \), которое является суммой стертых чисел. Тогда после каждого стирания сумма S будет уменьшаться на \( n \).

Мы знаем, что сначала на доску записывались все натуральные числа от 53 до 158 включительно, поэтому мы можем найти сумму этих чисел. По формуле суммы арифметической прогрессии, сумма будет равна \(\frac{{(158 - 53 + 1) \cdot (53 + 158)}}{2} = 15711\).

Теперь рассмотрим разность между двумя числами на доске. Предположим, что два числа остались на доске и разность между ними равна 45. Значит, сумма всех чисел на доске должна быть равна \(2n + 45\), где n - одно из стертых чисел.

Однако мы уже выяснили, что сумма всех чисел на доске равна 15711. Но \(15711 \neq 2n + 45\) при любом целом n, поэтому такая ситуация невозможна.

Таким образом, ответ на задачу б) - нет, на доске не может остаться ровно два числа, между которыми разность составляет 45.