На гладкой поверхности столкнулись два медных шарика. Радиус первого шарика составляет треть радиуса второго шарика

Tigr_5564

22

Для решения данной задачи, нам потребуется применить законы сохранения импульса и момента импульса.

Итак, пусть \( m_1 \) и \( m_2 \) - массы первого и второго шарика соответственно, а \( v_1 \) и \( v_2 \) - их скорости перед столкновением. После столкновения медные шарики продолжают двигаться по разным траекториям. Пусть \( V_1 \) и \( V_2 \) - скорости шариков после столкновения, \( a_1 \) и \( a_2 \) - ускорения, которые шарики приобретают во время столкновения.

Закон сохранения импульса утверждает, что сумма импульсов системы до столкновения должна быть равна сумме импульсов после столкновения. Из этого следует:

\[ m_1v_1 + m_2v_2 = m_1V_1 + m_2V_2 \]

Также, учитывая, что медные шарики сталкиваются на гладкой поверхности, можно предположить, что сохраняется момент импульса системы. То есть, сумма моментов импульса до столкновения должна быть равна сумме моментов импульса после столкновения. Это дает нам следующее уравнение:

\[ m_1v_1r_1 + m_2v_2r_2 = m_1V_1r_1 + m_2V_2r_2 \]

Здесь \( r_1 \) и \( r_2 \) - радиусы первого и второго шариков соответственно.

Мы знаем, что радиус первого шарика составляет треть радиуса второго, то есть \( r_1 = \frac{r_2}{3} \). Заменим это значение в уравнении момента импульса:

\[ m_1v_1\frac{r_2}{3} + m_2v_2r_2 = m_1V_1\frac{r_2}{3} + m_2V_2r_2 \]

Теперь мы можем выразить ускорения \( a_1 \) и \( a_2 \) через скорости \( V_1 \) и \( V_2 \):

\[ a_1 = \frac{V_1 - v_1}{t} \]
\[ a_2 = \frac{V_2 - v_2}{t} \]

Подставим выражения для \( V_1 \) и \( V_2 \) в данных уравнениях:

\[ a_1 = \frac{(m_1v_1 + m_2v_2) - m_1V_1}{t} \]
\[ a_2 = \frac{(m_1v_1 + m_2v_2) - m_2V_2}{t} \]

Теперь остается выразить \( V_1 \) и \( V_2 \) через радиусы шариков:

\[ V_1 = \frac{r_2}{3}a_1 + v_1 \]
\[ V_2 = \frac{r_2}{3}a_2 + v_2 \]

Теперь подставим значения \( V_1 \) и \( V_2 \) в уравнение сохранения импульса:

\[ m_1v_1 + m_2v_2 = m_1\left(\frac{r_2}{3}a_1 + v_1\right) + m_2\left(\frac{r_2}{3}a_2 + v_2\right) \]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[ m_1v_1 + m_2v_2 = \frac{m_1r_2}{3}a_1 + m_1v_1 + \frac{m_2r_2}{3}a_2 + m_2v_2 \]

Сократим одинаковые члены:

\[ 0 = \frac{m_1r_2}{3}a_1 + \frac{m_2r_2}{3}a_2 \]

Теперь выразим отношение ускорений \( \frac{a_1}{a_2} \):

\[ \frac{a_1}{a_2} = -\frac{m_2r_2}{m_1r_2} \]

Поскольку \( r_1 = \frac{r_2}{3} \), то получаем:

\[ \frac{a_1}{a_2} = -\frac{3m_2}{m_1} \]

Итак, отношение ускорений \( \frac{a_1}{a_2} \) равно \( -\frac{3m_2}{m_1} \).

Для более точного ответа, необходимо знать точные значения масс \( m_1 \) и \( m_2 \) шариков.

Этот подробный подход позволяет понять, как законы сохранения применяются к столкновению двух медных шариков и как можно найти отношение ускорений. При решении подобных задач важно всегда описывать каждый шаг решения и объяснять его физический смысл.