На горизонтальной поверхности маленький шарик падает под углом 45 градусов и отскакивает после абсолютно упругого
На горизонтальной поверхности маленький шарик падает под углом 45 градусов и отскакивает после абсолютно упругого соударения, сохраняя свою скорость. Какое количество соударений N шарик будет испытывать с этой поверхностью на расстоянии l=2м, если его скорость в момент удара составляет 2м/с и все следующие соударения также будут упругими? При этом, проигнорируйте влияние сопротивления воздуха. (вместе с рисунком)
Сергей 44
Для решения этой задачи, давайте разобьем процесс движения шарика на две его составляющие: горизонтальное и вертикальное движение.Начнем с вертикального движения. Угол падения шарика составляет 45 градусов, что означает, что его начальная вертикальная скорость \(v_{0y}\) равна скорости \(v_0\) умноженной на синус 45 градусов. Так как скорость шарика сохраняется после каждого соударения, его вертикальная скорость будет меняться только под воздействием силы тяжести. Так как мы игнорируем сопротивление воздуха, это будет равно \(g\), где \(g\) - ускорение свободного падения.
Чтобы определить время \(t\), которое потребуется шарику на достижение поверхности второй раз, воспользуемся уравнением движения свободного падения:
\[h = v_{0y}t + \frac{1}{2}gt^2\]
Поскольку шарик должен достичь поверхности через 2 метра (\(h = -2\) м), исключим из уравнения \(v_{0y}\), так как мы знаем его значение. Для этого умножим уравнение движения на 2 и заменим \(h\) на \(-2\):
\[-4 = 2gt^2 - 4gt^2\]
Тогда получим:
\[2gt^2 = 4\]
\[t^2 = \frac{4}{2g}\]
\[t = \sqrt{\frac{4}{2g}}\]
Теперь перейдем к горизонтальному движению. Шарик движется с постоянной горизонтальной скоростью \(v_{0x}\), которая равняется произведению скорости \(v_0\) на косинус 45 градусов. Так как скорость шарика сохраняется после каждого соударения, расстояние \(l\) между двумя соударениями будет равно горизонтальной скорости \(v_{0x}\), умноженной на время \(t\):
\[l = v_{0x} \cdot t\]
Поменяем переменные на известные значения:
\[l = v_0\cdot\cos45^\circ \cdot \sqrt{\frac{4}{2g}}\]
Учитывая, что \(v_0 = 2\) м/с и \(g = 9,8\) м/с\(^2\), мы можем выразить расстояние \(l\):
\[l = 2\cdot\cos45^\circ \cdot \sqrt{\frac{4}{2\cdot9,8}} = \sqrt{\frac{8}{9,8}}\]
Осталось найти количество соударений \(N\) на расстоянии \(l\). Для этого разделим расстояние \(l\) на \(2m\), которое является расстоянием между двумя соударениями:
\[N = \frac{l}{2} = \frac{\sqrt{\frac{8}{9,8}}}{2}\]
Подсчитаем это значение:
\[N \approx \frac{0,894}{2} \approx 0,447\]
Ответ: Шарик будет испытывать около 0,447 соударений с поверхностью на расстоянии 2 метра.