На иллюстрации изображена система, которая

Иван

67

состоит из блока массой \( m_1 = 2 \, \mathrm{кг} \) и блока массой \( m_2 = 4 \, \mathrm{кг} \), связанных нитью, перекинутой через блок. Нить нерастяжима и немассовая, трение в блоках и на блоке отсутствует. Блок массой \( m_1 \) расположен на наклонной плоскости, образующей угол \( \alpha = 30^\circ \) с горизонтом, а блок массой \( m_2 \) висит вниз. Определите ускорение блоков и натяжение нити.

Вам нужно найти значение ускорения \( a \) и натяжение \( T \) нити.

Решение:
1. Разобъем силы, действующие на блоки, на составляющие, параллельные и перпендикулярные наклонной плоскости.

Для блока массой \( m_1 \) параллельная составляющая: \( m_1g\sin\alpha \).
Для блока массой \( m_2 \) перпендикулярная составляющая: \( m_2g \).

2. Применим второй закон Ньютона для каждого блока.

Для блока массой \( m_1 \):
\[ m_1a = m_1g\sin\alpha - T \quad (1) \]

Для блока массой \( m_2 \):
\[ m_2a = T - m_2g \quad (2) \]

3. Решим систему уравнений (1) и (2) относительно \( a \) и \( T \).

Из уравнения (1) выразим \( T \):
\[ T = m_1g\sin\alpha - m_1a \]

Подставим это значение в уравнение (2):
\[ m_2a = m_1g\sin\alpha - m_1a - m_2g \]

Упростим уравнение:
\[ (m_1 + m_2)a = m_1g\sin\alpha - m_2g \]

Наконец, найдем \( a \):
\[ a = \frac{{m_1g\sin\alpha - m_2g}}{{m_1 + m_2}} \]

4. Подставим значения масс блоков и угла наклона в формулу, чтобы найти численное значение ускорения \( a \):

\[ a = \frac{{2 \, \mathrm{кг} \cdot 9,8 \, \mathrm{м/с^2} \cdot \sin 30^\circ - 4 \, \mathrm{кг} \cdot 9,8 \, \mathrm{м/с^2}}}{{2 \, \mathrm{кг} + 4 \, \mathrm{кг}}} \]

Проведя вычисления, получаем:
\[ a = -4,9 \, \mathrm{м/с^2} \]

5. Найдем натяжение нити, используя значение ускорения \( a \):

Подставим \( a \) в уравнение (1):
\[ T = 2 \, \mathrm{кг} \cdot 9,8 \, \mathrm{м/с^2} \cdot \sin 30^\circ - 2 \, \mathrm{кг} \cdot (-4,9 \, \mathrm{м/с^2}) \]

Проведя вычисления, получаем:
\[ T = 29,4 \, \mathrm{Н} \]

Итак, ускорение блоков равно \( -4,9 \, \mathrm{м/с^2} \), а натяжение нити равно \( 29,4 \, \mathrm{Н} \)