На интервале (0; п), определите экстремумы следующих функций: y = sin3x; e = cos2x. Найдите интервалы возрастания

Puteshestvennik_Vo_Vremeni_7817

16

Хорошо, давайте начнем с первой функции \( y = \sin^3{x} \).

1. Чтобы найти экстремумы функции, мы должны найти ее производную и решить уравнение \( f"(x) = 0 \).

2. Продифференцируем функцию \( y = \sin^3{x} \) с использованием формулы дифференцирования синуса: \( \frac{d}{dx}(\sin^3{x}) = 3\sin^2{x}\cos{x} \).

3. Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение \( 3\sin^2{x}\cos{x} = 0 \). Здесь мы видим, что когда один из множителей равен нулю, весь производный равен нулю.

4. Первый множитель \( 3\sin^2{x} \) будет равен нулю только при \( \sin{x} = 0 \). Найдем значения \( x \), для которых \( \sin{x} = 0 \) на интервале \((0; \pi)\). Эти значения - \( x = 0 \) и \( x = \pi \).

5. Второй множитель \( \cos{x} \) будет равен нулю, когда \( x = \frac{\pi}{2} \) и \( x = \frac{3\pi}{2} \).

6. Таким образом, у нас есть три точки на интервале \((0; \pi)\), где производная равна нулю: \( x = 0 \), \( x = \frac{\pi}{2} \) и \( x = \pi \).

7. Чтобы определить, являются ли эти точки экстремумами, нам нужно проанализировать изменение производной в окрестности каждой точки.

8. Для \( x = 0 \) полоса знаков меняется с плюса на минус, поэтому это локальный максимум.

9. Для \( x = \frac{\pi}{2} \) полоса знаков меняется с минуса на плюс, поэтому это локальный минимум.

10. Для \( x = \pi \) полоса знаков меняется с плюса на минус, поэтому это локальный максимум.

Теперь перейдем ко второй функции \( e = \cos^2{x} \).

1. То же самое, мы начинаем с нахождения производной функции \( e = \cos^2{x} \).

2. Продифференцируем функцию \( e = \cos^2{x} \) с использованием формулы дифференцирования косинуса: \( \frac{d}{dx}(\cos^2{x}) = -2\sin{x}\cos{x} \).

3. Решим уравнение \( -2\sin{x}\cos{x} = 0 \). В данном случае один из множителей должен быть равен нулю.

4. Первый множитель \( -2\sin{x} \) будет равен нулю, когда \( \sin{x} = 0 \). Это происходит при \( x = 0 \) и \( x = \pi \).

5. Второй множитель \( \cos{x} \) будет равен нулю, когда \( x = \frac{\pi}{2} \) и \( x = \frac{3\pi}{2} \).

6. Как и в предыдущей функции, мы имеем три точки на интервале \((0; \pi)\), где производная равна нулю: \( x = 0 \), \( x = \frac{\pi}{2} \) и \( x = \pi \).

7. Анализируя изменение производной в окрестности каждой точки, мы можем сделать следующие выводы:

- Для \( x = 0 \) полоса знаков меняется с плюса на минус, поэтому это локальный максимум.

- Для \( x = \frac{\pi}{2} \) полоса знаков меняется с минуса на плюс, поэтому это локальный минимум.

- Для \( x = \pi \) полоса знаков меняется с плюса на минус, поэтому это локальный максимум.

Таким образом, мы определили экстремумы каждой функции на интервале \((0; \pi)\). Чтобы определить интервалы возрастания и убывания каждой функции, нам нужно исследовать полосы знаков производных функций между экстремумами.