На интервале [2π; 7π/2] решите уравнение √2 sin^2x+cosx-√2)*√-6sinx=0, если возможно. Буду благодарен!

Tigressa

13

Давайте решим данное уравнение пошагово.

1. Начнем с исходного уравнения: \(\sqrt{2}\sin^2 x + \cos x - \sqrt{2}\sqrt{-6}\sin x = 0\).

2. Раскроем квадрат синуса: \(2\sin^2 x + \cos x - 2\sqrt{-6}\sin x = 0\).

4. Переупорядочим слагаемые и заменим \(\sin^2 x\) на \((1 - \cos^2 x)\): \(-\cos^2 x + 2\sin^2 x - 2\sqrt{-6}\sin x + \cos x = 0\).

5. Приведем подобные слагаемые: \(2\sin^2 x - \cos^2 x - 2\sqrt{-6}\sin x + \cos x = 0\).

6. Воспользуемся формулой суммы квадратов: \((\sin x + \cos x)(\sin x - \cos x) - 2\sqrt{-6}\sin x + \cos x = 0\).

7. Раскроем скобки: \(\sin^2 x - \cos^2 x - 2\sqrt{-6}\sin x\cos x - 2\sqrt{-6}\sin x + \cos x = 0\).

8. Заменим \(\sin^2 x\) на \(1 - \cos^2 x\): \(1 - \cos^2 x - \cos^2 x - 2\sqrt{-6}\sin x\cos x - 2\sqrt{-6}\sin x + \cos x = 0\).

9. Сгруппируем слагаемые: \(1 - 2\cos^2 x - 2\sqrt{-6}\sin x\cos x - 2\sqrt{-6}\sin x + \cos x = 0\).

10. Упростим выражение: \(1 - 2\cos^2 x - 2\sqrt{-6}\sin x\cos x - 2\sqrt{-6}\sin x + \cos x = 0\).

11. Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения: \(-2\cos^2 x - 2\sqrt{-6}\sin x\cos x - 2\sqrt{-6}\sin x + \cos x + 1 = 0\).

12. Заметим, что данный вид уравнения представляет собой квадратное уравнение относительно переменной \(\cos x\). Обозначим \(\cos x\) как \(t\).

13. Заменим переменную в уравнении: \(-2t^2 - 2\sqrt{-6}\sin x t - 2\sqrt{-6}\sin x + t + 1 = 0\).

14. Решим полученное квадратное уравнение относительно \(t\). Мы можем использовать дискриминант для определения типа корней.

Дискриминант квадратного уравнения \(D\) равен \(b^2 - 4ac\), где \(a\), \(b\), и \(c\) - это коэффициенты уравнения \(at^2 + bt + c = 0\).

Подставим значения коэффициентов в уравнение: \(a = -2\), \(b = -2\sqrt{-6}\sin x - 2\sqrt{-6}\sin x\), \(c = 1\).

Выразим \(b^2 - 4ac\): \((-2\sqrt{-6}\sin x - 2\sqrt{-6}\sin x)^2 - 4(-2)(1)\).

\((-2\sqrt{-6}\sin x - 2\sqrt{-6}\sin x)^2 = 16(6\sin^2 x) = 96\sin^2 x\).

Выражение \(b^2 - 4ac\) принимает вид: \(96\sin^2 x - 8\).

Теперь мы можем анализировать дискриминант \(D = 96\sin^2 x - 8\).

15. Если дискриминант \(D > 0\), то уравнение имеет два различных действительных корня.

16. Если дискриминант \(D = 0\), то уравнение имеет один действительный корень.

17. Если дискриминант \(D < 0\), то уравнение не имеет действительных корней.

18. Зависимость дискриминанта от синуса \(D = 96\sin^2 x - 8\) позволяет нам определить тип корней в зависимости от значения синуса \(x\).

19. Так как интервал [\(2\pi\); \(7\pi/2\)] лежит во 2-й и 3-й четвертях, где синус отрицательный, то для каждого \(\sin x < 0\) дискриминант \(D\) будет отрицательным и уравнение не имеет решений на данном интервале.

20. Таким образом, решений уравнения на интервале [\(2\pi\); \(7\pi/2\)] нет.