На каких интервалах функция возрастает и убывает для уравнения Y=x^3-8x^2+360?

Лина_6858

47

Хорошо, я помогу вам разобраться с задачей и дам вам подробное объяснение. Для определения интервалов, на которых функция возрастает и убывает, нам нужно проанализировать производную функции.

Дано уравнение \(Y = x^3 - 8x^2 + 360\). Чтобы найти производную функции, возьмем ее производную по переменной \(x\):

\[\frac{dY}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3 - 8x^2 + 360)\]

Для этого уравнения нам понадобится использовать правила дифференцирования. Применим правило дифференцирования степенной функции, где \(n\) - степень:

\[\frac{d}{dx}(x^n) = n \cdot x^{n-1}\]

Используя это правило, найдем производную нашей функции:

\[\frac{dY}{dx} = 3x^2 - 16x\]

Теперь, чтобы определить интервалы, на которых функция возрастает и убывает, мы должны проанализировать знак производной на различных участках числовой оси.

Пусть \(\frac{dY}{dx} = 0\). Решим это уравнение:

\[3x^2 - 16x = 0\]

Факторизуем это уравнение:

\[x(3x - 16) = 0\]

Получаем два значения \(x_1 = 0\) и \(x_2 = \frac{16}{3}\).

Теперь построим таблицу знаков производной, используя найденные значения и какую-либо точку на каждом интервале:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Интервал} & \text{Знак производной} \\
\hline
(-\infty, 0) & + \\
\hline
(0, \frac{16}{3}) & - \\
\hline
(\frac{16}{3}, +\infty) & + \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь мы можем сделать выводы:

- Функция возрастает на интервале \((- \infty, 0)\), так как производная положительна на этом интервале.
- Функция убывает на интервале \((0, \frac{16}{3})\), так как производная отрицательна на этом интервале.
- Функция возрастает на интервале \((\frac{16}{3}, +\infty)\), так как производная положительна на этом интервале.

Таким образом, интервалы возрастания функции (интервалы, на которых функция увеличивается) - это \((- \infty, 0)\) и \((\frac{16}{3}, +\infty)\), а интервалы убывания функции (интервалы, на которых функция уменьшается) - это \((0, \frac{16}{3})\).