За яких значень a і b це рівняння виконується: √ab = √-a • √-b?

Яхонт

4

Давайте проведемо детальний аналіз задачі. Ви маєте рівняння: \(\sqrt{ab}=\sqrt{-a} \cdot \sqrt{-b}\). Нашим завданням є знайти значення \(a\) і \(b\), при яких це рівняння виконується.

Для спрощення задачі, давайте розглянемо кожну сторону рівняння окремо і з"ясуємо, за яких умов вона буде дорівнювати.

Почнемо зліва: \(\sqrt{ab}\). Це означає, що ми беремо квадратний корінь від добутку \(a\) та \(b\). Щоб корінь був дійсним числом, добуток \(ab\) повинен бути не від"ємним числом або нулем. Тобто \(ab \geq 0\).

Тепер розглянемо праву частину рівняння: \(\sqrt{-a} \cdot \sqrt{-b}\). Тут ми беремо квадратний корінь від від"ємного числа \(-a\) та \(-b\), а потім множимо їх між собою. Для того, щоб це було можливо, кожне з від"ємних чисел \(-a\) та \(-b\) повинно мати одну й ту саму умову - бути менше або дорівнювати нулю. Таким чином, ми отримуємо \(-a \leq 0\) та \(-b \leq 0\).

Отже, ми маємо дві умови: \(ab \geq 0\) та \(-a \leq 0\), \(-b \leq 0\).

Давайте розглянемо всі можливі випадки:

1. Якщо \(a > 0\) та \(b > 0\), тобто обидва числа додатні, то \(ab > 0\), але \(-a < 0\) та \(-b < 0\). Отже, рівняння не виконується для таких значень \(a\) та \(b\).

2. Якщо \(a > 0\) та \(b = 0\), тобто перше число додатнє, а друге рівне нулю, то \(ab = 0\), що виконує умову \(ab \geq 0\). Однак, \(-a < 0\) та \(-b < 0\), таким чином рівняння не виконується для таких значень \(a\) та \(b\).

3. Якщо \(a = 0\) та \(b > 0\), тобто перше число рівне нулю, а друге додатне, то \(ab = 0\), що виконує умову \(ab \geq 0\). Однак, \(-a = 0\) та \(-b < 0\), таким чином рівняння не виконується для таких значень \(a\) та \(b\).

4. Якщо \(a = 0\) та \(b = 0\), тобто обидва числа рівні нулю, то \(ab = 0\), що виконує умову \(ab \geq 0\). Однак, \(-a = 0\) та \(-b = 0\), тобто \(-a \leq 0\) та \(-b \leq 0\). Тому рівняння виконується для цих значень \(a\) та \(b\).

5. Якщо \(a < 0\) та \(b < 0\), тобто обидва числа від"ємні, то \(ab > 0\), але \(-a > 0\) та \(-b > 0\). Отже, рівняння не виконується для таких значень \(a\) та \(b\).

Отже, можливі значення \(a\) та \(b\), при яких рівняння виконується, це:
- \(a = 0\) та \(b = 0\).

Якщо у вас є будь-які додаткові запитання або потрібне додаткове пояснення, будь ласка, відповідайте!