На каких интервалах функция y = x3 – 12x + 5 убывает? Выберите один ответ: (– ∞; – 2) υ (2; + ∞) (–2; 2) (2; + ∞

Evgenyevna

53

Для того чтобы определить, на каких интервалах функция \(y = x^3 - 12x + 5\) убывает, мы рассмотрим поведение функции в различных участках её области определения.

Первым шагом, нам нужно найти производную функции. Для этого возьмём производную \(y\) по \(x\):

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = 3x^2 - 12
\]

Затем приравняем производную к 0 и найдем точки, в которых производная равна 0:

\[
3x^2 - 12 = 0
\]

Решим это уравнение:

\[
3x^2 = 12
\]

\[
x^2 = 4
\]

\[
x = \pm 2
\]

Теперь мы знаем, что функция может менять свой наклон в точках \(x = -2\) и \(x = 2\). Давайте посмотрим на знаки производной в этих точках и на интервалах между ними.

Рассмотрим интервал \((-\infty, -2)\). Выберем произвольное значение \(x\) в этом интервале, например, \(x = -3\). Подставим эту точку в производную:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = 3(-3)^2 - 12 = 3(9) - 12 = 27 - 12 = 15
\]

Знак производной положительный, что означает, что функция растет на этом интервале. Таким образом, на интервале \((-\infty, -2)\) функция \(y\) не убывает.

Рассмотрим теперь интервал \((-2, 2)\). Выберем произвольное значение \(x\) в этом интервале, например, \(x = 0\). Подставим это значение в производную:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = 3(0)^2 - 12 = 3(0) - 12 = -12
\]

Знак производной отрицательный, что означает, что функция убывает на этом интервале. Таким образом, на интервале \((-2, 2)\) функция \(y\) убывает.

Наконец, рассмотрим интервал \((2, +\infty)\). Выберем произвольное значение \(x\) в этом интервале, например, \(x = 3\). Подставим его в производную:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = 3(3)^2 - 12 = 3(9) - 12 = 27 - 12 = 15
\]

Знак производной положительный, что означает, что функция продолжает расти на этом интервале. Таким образом, на интервале \((2, +\infty)\) функция \(y\) не убывает.

Итак, на основе анализа производной и выбора произвольных значений \(x\) в каждом интервале, мы можем делать следующий вывод: функция \(y = x^3 - 12x + 5\) убывает на интервале \((-2, 2)\).

Ответ: (–2; 2)