На каких значениях a графики функций y = - x² + 6x - 7 и y = 2x + a имеют хотя бы одну общую точку?

Шмель_2396

6

Для того, чтобы найти значения \( a \), при которых графики функций \( y = -x^2 + 6x - 7 \) и \( y = 2x + a \) имеют хотя бы одну общую точку, мы должны найти значения \( x \), для которых эти две функции равны друг другу.

Для начала, мы можем приравнять уравнения:
\[-x^2 + 6x - 7 = 2x + a\]

После этого, перенесём все члены в левую часть уравнения:
\[-x^2 + 4x - 7 - a = 0\]

Таким образом, у нас получается квадратное уравнение. Чтобы найти значения \(a\), при которых уравнение имеет хотя бы один корень, используем формулу дискриминанта.

Дискриминант квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) вычисляется по формуле:
\[D = b^2 - 4ac\]

Так как у нас уравнение \(-x^2 + 4x - 7 - a = 0\), то \(a = -1\), \(b = 4\), \(c = -7 - a\), поэтому:
\[D = 4^2 - 4(-1)(-7 - a) = 16 - 28 + 4a = -12 + 4a\]

На данный момент мы знаем, что для существования общих точек, дискриминант \(D\) должен быть больше нуля:
\[D > 0\]

Подставим \(D = -12 + 4a\) и решим неравенство:
\[-12 + 4a > 0\]

Добавим 12 к обеим сторонам неравенства:
\[4a > 12\]

Разделим обе части неравенства на 4:
\[a > 3\]

Таким образом, мы получаем, что для всех значений \(a\) больше 3, графики функций \(y = -x^2 + 6x - 7\) и \(y = 2x + a\) будут иметь по крайней мере одну общую точку.